Cos'è l'irriducibilità nella teoria delle categorie?

Nella teoria delle categorie, un funtore è detto irriducibile se non può essere scomposto come prodotto di funtori più semplici. In altre parole, un funtore è irriducibile se non può essere espresso come una composizione di funtori "più semplici", dove la semplicità è misurata in termini di numero di morfismi coinvolti nella composizione.

Ad esempio, consideriamo la categoria degli insiemi, dove gli unici morfismi sono funzioni tra insiemi. Il funtore identità, che restituisce semplicemente l'insieme invariato, è un funtore irriducibile perché non può essere scomposto come prodotto di funtori più semplici. D'altra parte, il funtore che mappa ciascun insieme al suo powerset non è irriducibile perché può essere scomposto come un prodotto di funtori più semplici: il funtore che mappa ciascun insieme al suo set sottostante e il funtore che mappa ciascun insieme al suo powerset .

Iriducibilità è un concetto importante nella teoria delle categorie perché è strettamente correlato alla nozione di oggetti "primitivi" o oggetti "base". In ogni categoria, ci sono alcuni oggetti che non possono essere scomposti in oggetti più semplici e questi oggetti vengono spesso definiti primitivi o basilari. Allo stesso modo, ci sono alcuni funtori che non possono essere scomposti in funtori più semplici, e questi funtori sono spesso indicati come irriducibili.

In sintesi, l'irriducibilità è un concetto nella teoria delle categorie che si riferisce all'idea che alcuni funtori non possono essere scomposti in funtori più semplici. È strettamente correlato alla nozione di oggetti primitivi o di base ed è un concetto importante per comprendere la struttura delle categorie.