McCartan Spaces: A Generalization of Manifolds for Non-Commutative Geometry

McCartan er en matematisk struktur som generaliserer forestillingen om en mangfoldighet. Det ble introdusert av John McCartan på 1990-tallet som en måte å studere ikke-kommutativ geometri og geometrien til rom med en ikke-triviell fundamental gruppe.

Et McCartan-rom er et topologisk rom som er utstyrt med en bunt av ringer, kalt McCartan sheaf, som koder for geometrien til rommet. McCartan-løvet er en generalisering av bunken av funksjoner på en manifold, og den inkluderer tilleggsstruktur som en forestilling om "differensial" som ikke nødvendigvis er kommutativ.

Et av nøkkeltrekkene til McCartan-rom er at de kan ha en ikke- triviell grunngruppe, noe som betyr at rommet ikke nødvendigvis er stiforbundet. Dette er i motsetning til manifolder, som alltid er banekoblet. Den ikke-trivielle fundamentalgruppen til et McCartan-rom gir mulighet for studiet av mer eksotiske geometriske strukturer, slik som de som finnes i ikke-kommutativ geometri og geometrien til rom med en ikke-triviell fundamentalgruppe.

McCartan-rom har funnet anvendelser i en rekke forskjellige av felt, inkludert algebraisk geometri, tallteori og matematisk fysikk. De gir en måte å studere geometriske objekter som ikke nødvendigvis er kommutative, og de har blitt brukt til å studere et bredt spekter av problemer, fra geometrien til algebraiske varianter til studiet av kvantefeltteorier.