गणित में प्रचुरता को समझना

प्रचुरता एक गणितीय वस्तु का एक गुण है, जैसे कि वेक्टर स्थान या मैट्रिक्स, जो मापता है कि वस्तु को एक परिमित-आयामी उप-स्थान द्वारा कितनी अच्छी तरह अनुमानित किया जा सकता है। वेक्टर रिक्त स्थान के संदर्भ में, प्रचुरता उस संपत्ति को संदर्भित करती है जो प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर अंतरिक्ष में आधार वैक्टर की एक सीमित संख्या के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक सदिश स्थान पर्याप्त है यदि और केवल यदि इसका एक सीमित आधार है।

इसी तरह, आव्यूहों के संदर्भ में, प्रचुरता उस संपत्ति को संदर्भित करती है कि मैट्रिक्स की प्रत्येक गैर-शून्य प्रविष्टि को एक परिमित संख्या के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है मैट्रिक्स की प्रविष्टियों की. दूसरे शब्दों में, एक मैट्रिक्स पर्याप्त है यदि और केवल यदि इसमें एक सीमित पंक्ति या स्तंभ विस्तार है। रैखिक बीजगणित, कार्यात्मक विश्लेषण और बीजगणितीय ज्यामिति सहित गणित के कई क्षेत्रों में व्यापकता एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। इसमें भौतिकी, इंजीनियरिंग, कंप्यूटर विज्ञान और डेटा विश्लेषण सहित कई क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं। प्रचुरता के प्रमुख गुणों में से एक यह है कि यह एक वंशानुगत संपत्ति है, जिसका अर्थ है कि यदि कोई वेक्टर स्थान या मैट्रिक्स पर्याप्त है, तो कोई भी इसका सबस्पेस या सबमैट्रिक्स भी पर्याप्त होगा। यह गुण गणितीय वस्तुओं की संरचना का अध्ययन करने और इन वस्तुओं से जुड़ी समस्याओं को हल करने के लिए कुशल एल्गोरिदम विकसित करने के लिए प्रचुरता का उपयोग करना संभव बनाता है।