Pochopení homologie v algebraické topologii

Homologie je koncept v algebraické topologii, který popisuje vztah mezi topologickými prostory. Je to způsob, jak porovnat vlastnosti dvou prostorů tím, že se podíváme na to, jak jsou „podobné“ nebo „odlišné“ určitými způsoby.……Homologie je zejména způsob měření děr v prostoru. Díra je oblast prostoru, která není spojena se zbytkem prostoru. Například kobliha má jeden otvor, zatímco šálek kávy má otvory dva (ucho a otvor uprostřed). map. Každá mapa zabírá prostor a mapuje jej na jiný prostor, čímž vytváří řetězec prostorů. Homologické skupiny prostoru jsou definovány jako kvocienty prostorů v řetězcovém komplexu, modulo obrazy map.

Existuje několik různých typů homologie, včetně:

* Jednoduchá homologie: Toto je nejzákladnější typ homologie, který je založen na simpliciálních komplexech. Simpliciální komplex je soubor simpliců (tj. simplexů), které jsou slepeny dohromady, aby vytvořily prostor.
* Buněčná homologie: Jedná se o pokročilejší typ homologie, který je založen na buněčných komplexech. Buněčný komplex je soubor buněk (tj. simplexů), které jsou slepeny dohromady, aby vytvořily prostor, spolu s některými dalšími údaji, které sledují, jak jsou buňky slepeny dohromady.
* Homologická algebra: Jedná se o abstraktnější typ homologie, která je založena na algebraických vlastnostech řetězcového komplexu. Používá se ke studiu vlastností prostorů obecnějším způsobem a má aplikace v mnoha oblastech matematiky a vědy. as:

* Topologická analýza dat: Toto je nové pole, které využívá homologii k analýze topologické struktury dat. Homologii lze například použít ke studiu propojenosti datové sady nebo k identifikaci děr v datech.
* Strojové učení: Homologii lze použít ke studiu vlastností neuronových sítí a dalších algoritmů strojového učení a k pochopení toho, jak se vzájemně vztahují.
* Fyzika: Homologie se používá ke studiu vlastností fyzikálních systémů, jako je topologie časoprostoru a chování částic a polí. topologické prostory. Je založen na myšlence řetězového komplexu a má mnoho aplikací v matematice a vědě.