बीजगणितीय टोपोलॉजी में होमोलॉजी को समझना

होमोलॉजी बीजगणितीय टोपोलॉजी में एक अवधारणा है जो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच संबंध का वर्णन करती है। यह दो स्थानों के गुणों की तुलना करने का एक तरीका है, यह देखकर कि वे कुछ मायनों में "समान" या "अलग" कैसे हैं।

विशेष रूप से, समरूपता किसी स्थान में छिद्रों को मापने का एक तरीका है। छिद्र अंतरिक्ष का एक ऐसा क्षेत्र है जो शेष स्थान से जुड़ा नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक डोनट में एक छेद होता है, जबकि एक कॉफी कप में दो छेद होते हैं (हैंडल और केंद्र में छेद)। नक्शों का. प्रत्येक मानचित्र एक स्थान लेता है और इसे दूसरे स्थान पर मैप करता है, जिससे रिक्त स्थान की एक श्रृंखला बनती है। किसी स्थान के समरूपता समूहों को श्रृंखला परिसर में रिक्त स्थान के भागफल के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो मानचित्रों की छवियों को मॉड्यूल करता है।

समरूपता के कई अलग-अलग प्रकार हैं, जिनमें शामिल हैं:

* सरल समरूपता: यह समरूपता का सबसे बुनियादी प्रकार है, जो सरल संकुलों पर आधारित है। एक सरल कॉम्प्लेक्स, सिम्प्लिसेस (यानी, सिंप्लेक्स) का एक संग्रह है जो एक स्थान बनाने के लिए एक साथ चिपक जाता है। * सेलुलर होमोलॉजी: यह एक अधिक उन्नत प्रकार की होमोलॉजी है, जो सेल कॉम्प्लेक्स पर आधारित है। सेल कॉम्प्लेक्स कोशिकाओं का एक संग्रह है (यानी, सिम्प्लेक्स) जो एक स्थान बनाने के लिए एक साथ चिपके होते हैं, साथ ही कुछ अतिरिक्त डेटा भी होते हैं जो इस बात पर नज़र रखते हैं कि कोशिकाएं एक साथ कैसे चिपकी हुई हैं। * होमोलॉजिकल बीजगणित: यह एक अधिक अमूर्त प्रकार है समरूपता, जो श्रृंखला परिसर के बीजगणितीय गुणों पर आधारित है। इसका उपयोग अधिक सामान्य तरीके से रिक्त स्थान के गुणों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है, और इसमें गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में अनुप्रयोग होते हैं। होमोलॉजी बीजगणितीय टोपोलॉजी में एक मौलिक अवधारणा है, और गणित और विज्ञान के अन्य क्षेत्रों में इसके कई अनुप्रयोग हैं, जैसे जैसे:

* टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण: यह एक नया क्षेत्र है जो डेटा की टोपोलॉजिकल संरचना का विश्लेषण करने के लिए होमोलॉजी का उपयोग करता है। उदाहरण के लिए, होमोलॉजी का उपयोग डेटासेट की कनेक्टिविटी का अध्ययन करने, या डेटा में छेद की पहचान करने के लिए किया जा सकता है। * मशीन लर्निंग: होमोलॉजी का उपयोग तंत्रिका नेटवर्क और अन्य मशीन लर्निंग एल्गोरिदम के गुणों का अध्ययन करने और यह समझने के लिए किया जा सकता है कि वे कैसे हैं एक दूसरे से संबंधित हैं। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान. यह एक श्रृंखला परिसर के विचार पर आधारित है, और गणित और विज्ञान में इसके कई अनुप्रयोग हैं।