गणित में प्रमाणों को समझना: प्रयुक्त सामान्य तकनीकें

गणित में, प्रमाण एक तार्किक और व्यवस्थित तर्क है जो गणितीय कथन या प्रस्ताव की सच्चाई को स्थापित करता है। यह गणितीय दावे की वैधता को प्रदर्शित करने का एक तरीका है, यह दिखाकर कि यह दी गई धारणाओं या परिसरों के एक सेट से तार्किक रूप से अनुसरण करता है। एक प्रमाण में आम तौर पर तार्किक चरणों की एक श्रृंखला शामिल होती है, जिनमें से प्रत्येक पिछले एक से अनुसरण करता है, अंततः परिणाम की ओर ले जाता है। वांछित निष्कर्ष. प्रमाण के चरणों में विभिन्न गणितीय तकनीकें और विधियाँ शामिल हो सकती हैं, जैसे बीजगणितीय जोड़-तोड़, ज्यामितीय निर्माण, या तार्किक कटौती।

प्रमाणों में उपयोग की जाने वाली कुछ सामान्य तकनीकें क्या हैं?

प्रमाणों में उपयोग की जाने वाली कुछ सामान्य तकनीकों में शामिल हैं:

1. प्रत्यक्ष प्रमाण: प्रत्यक्ष प्रमाण एक सीधा तर्क है जो किसी कथन की सत्यता को दिए गए परिसर से तार्किक रूप से घटाकर स्थापित करता है।
2। अप्रत्यक्ष प्रमाण: अप्रत्यक्ष प्रमाण एक ऐसा प्रमाण है जो दर्शाता है कि सिद्ध किए जाने वाले कथन का खंडन तार्किक विरोधाभास की ओर ले जाता है, जिससे मूल कथन की सत्यता स्थापित होती है।
3. विरोधाभास द्वारा प्रमाण: विरोधाभास द्वारा प्रमाण एक प्रकार का अप्रत्यक्ष प्रमाण है जिसमें प्रमाण मानता है कि सिद्ध किए जाने वाले कथन का विपरीत सत्य है, और फिर दिखाता है कि यह एक तार्किक विरोधाभास की ओर ले जाता है।
4. थकावट से प्रमाण: थकावट से सबूत सबूत की एक विधि है जिसमें यह दिखाना शामिल है कि प्रत्येक संभावित मामला या परिदृश्य वांछित निष्कर्ष तक ले जाता है।
5। निर्माण द्वारा प्रमाण: निर्माण द्वारा प्रमाण प्रमाण की एक विधि है जिसमें किसी वस्तु या घटनाओं के अनुक्रम का निर्माण शामिल होता है जो वांछित गुणों को संतुष्ट करता है।
6। एल्गोरिथम द्वारा प्रमाण: एल्गोरिथम द्वारा प्रमाण प्रमाण की एक विधि है जिसमें एक कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया का वर्णन करना शामिल है जिसका उपयोग किसी कथन की सत्यता को सत्यापित करने के लिए किया जा सकता है।
7। उदाहरण द्वारा प्रमाण: उदाहरण द्वारा प्रमाण प्रमाण की एक विधि है जिसमें एक विशिष्ट उदाहरण प्रदान करना शामिल है जो किसी कथन की सच्चाई को दर्शाता है।
8। बेतुकेपन को कम करके प्रमाण: बेतुकेपन को कम करके प्रमाण सबूत की एक विधि है जिसमें यह दिखाया जाता है कि सिद्ध किए जाने वाले कथन को नकारने से एक बेतुका या विरोधाभासी निष्कर्ष निकलता है, जिससे मूल कथन की सच्चाई स्थापित होती है।

ये सिर्फ एक हैं प्रमाणों में प्रयुक्त सामान्य तकनीकों के कुछ उदाहरण। ऐसी कई अन्य विधियाँ और तकनीकें हैं जिनका उपयोग हल की जा रही विशिष्ट समस्या के आधार पर किया जा सकता है।