Linearisierung verstehen: Ein leistungsstarkes Werkzeug für Systemanalyse und -design

Unter Linearisierung versteht man den Prozess der Umwandlung eines nichtlinearen Systems in ein lineares. Mit anderen Worten handelt es sich um eine Methode zur Vereinfachung der Analyse und des Entwurfs komplexer Systeme durch Annäherung an lineare Systeme. Bei der Linearisierung wird das nichtlineare System durch eine linearisierte Version seiner selbst ersetzt, die das Verhalten des Systems in der Nähe eines gegebenen Werts erfasst Betriebspunkt oder Betriebszustand. Das linearisierte System ist dann einfacher zu analysieren und zu entwerfen, da es mit linearen Standardtechniken wie Matrixgleichungen und Eigenwertanalyse gelöst werden kann.

Es gibt mehrere Methoden zur Linearisierung eines nichtlinearen Systems, darunter:

1. Taylor-Reihenentwicklung: Bei dieser Methode werden die Gleichungen des Systems in einer Potenzreihe der Eingabevariablen erweitert, wobei nur Terme bis zu einer bestimmten Reihenfolge beibehalten werden. Das resultierende linearisierte System ist eine Näherung des ursprünglichen Systems in der Nähe des Arbeitspunkts.
2. Linearisierung um einen festen Punkt: Bei dieser Methode wird ein fester Punkt des Systems gefunden und das System in der Nähe dieses Punktes linearisiert. Das linearisierte System wird dann verwendet, um die Stabilität des Festpunkts zu analysieren und Steuerungssysteme zu entwerfen.
3. Lyapunov-Stabilitätsanalyse: Bei dieser Methode wird eine Lyapunov-Funktion verwendet, um die Stabilität eines Gleichgewichtspunkts des Systems zu bestimmen. Das linearisierte System wird durch Ableitung der Lyapunov-Funktion nach den Eingangsvariablen erhalten.
4. Frequenzbereichsanalyse: Diese Methode beinhaltet die Analyse des Systems im Frequenzbereich, wobei die Übertragungsfunktion des Systems zur Linearisierung des Systems verwendet wird.

Linearisierung wird in vielen Bereichen weit verbreitet, einschlie+lich Steuerungssystemen, Signalverarbeitung und Schaltungsdesign. Es ist ein leistungsstarkes Werkzeug zum Verständnis und Entwurf komplexer Systeme und bietet zahlreiche Anwendungen in Bereichen wie Robotik, Automobilsteuerung und Luft- und Raumfahrttechnik.