Exactors in Category Theory: A Guide to Understanding Exactness in Functors

Exaktorer är ett sätt att definiera ett begrepp om "exakthet" för en funktor, som kan användas för att studera funktionerna hos funktorn.

En exaktor är ett par av en funktor och en naturlig transformation mellan den och identitetsfunktorn. Tanken är att funktorn är "exakt" i den meningen att den bevarar någon form av struktur, såsom en grupp- eller ringstruktur, och den naturliga transformationen är ett sätt att mäta hur väl funktorn bevarar denna struktur.

Till exempel, om vi har en funktion F: Grp -> Ab, där Grp är kategorin av grupper och Ab är kategorin av abelska grupper, då kan en exaktor för F vara ett par (F, ε), där ε är en naturlig transformation från F till identitetsfunktionen Id_Ab, så att ε(g) är en homomorfism från F(g) till g för alla objekt g i Grp. Detta innebär att F bevarar gruppstrukturen för objekten i Grp, och ε mäter hur väl F bevarar denna struktur.

Exactors har många tillämpningar inom kategoriteorin, inklusive studiet av gränser och kogränser, definitionen av härledda funktorer och studiet av naturliga transformationer mellan funktioner. De är också nära besläktade med andra viktiga begrepp inom kategoriteorin, som exakta sekvenser och trianglar.