Екзатори в теорії категорій: посібник із розуміння точності функторів

Екзатори — це спосіб визначення поняття «точності» для функтора, який можна використовувати для вивчення властивостей функтора.

Екзактор — це пара функтора та природного перетворення між ним і тотожним функтором. Ідея полягає в тому, що функтор є «точним» у тому сенсі, що він зберігає певну структуру, наприклад структуру групи або кільця, а природне перетворення є способом вимірювання того, наскільки добре функтор зберігає цю структуру.

Наприклад, якщо ми маємо функтор F: Grp -> Ab, де Grp — категорія груп, а Ab — категорія абелевих груп, тоді екзактор для F може бути парою (F, ε), де ε — природне перетворення з F до тотожного функтора Id_Ab, так що ε(g) є гомоморфізмом від F(g) до g для всіх об’єктів g у Grp. Це означає, що F зберігає групову структуру об’єктів у Grp, а ε вимірює, наскільки добре F зберігає цю структуру.

Екзатори мають багато застосувань у теорії категорій, включаючи дослідження меж і колілімітів, визначення похідних функторів і дослідження природні перетворення між функторами. Вони також тісно пов’язані з іншими важливими поняттями в теорії категорій, такими як точні послідовності та трикутники.