Exactors trong lý thuyết danh mục: Hướng dẫn hiểu tính chính xác trong Functor

Exactor là một cách để xác định khái niệm "độ chính xác" cho một functor, có thể được sử dụng để nghiên cứu các thuộc tính của functor.

Anactor chính xác là một cặp functor và một phép biến đổi tự nhiên giữa nó và functor nhận dạng. Ý tưởng là functor "chính xác" theo nghĩa là nó bảo toàn một số loại cấu trúc, chẳng hạn như cấu trúc nhóm hoặc vòng, và phép biến đổi tự nhiên là một cách để đo mức độ functor bảo toàn cấu trúc này.

Ví dụ, nếu ta có một hàm F: Grp -> Ab, trong đó Grp là phạm trù của các nhóm và Ab là phạm trù của các nhóm Abel, khi đó một hàm chính xác cho F có thể là một cặp (F, ε), trong đó ε là một phép biến đổi tự nhiên từ F đối với hàm nhận dạng Id_Ab, sao cho ε(g) là đồng cấu từ F(g) đến g cho mọi đối tượng g trong Grp. Điều này có nghĩa là F bảo toàn cấu trúc nhóm của các đối tượng trong Grp và ε đo lường mức độ F bảo toàn cấu trúc này.

Exactors có nhiều ứng dụng trong lý thuyết phạm trù, bao gồm nghiên cứu về giới hạn và colimits, định nghĩa các hàm số dẫn xuất và nghiên cứu về các phép biến đổi tự nhiên giữa các hàm số. Chúng cũng liên quan chặt chẽ với các khái niệm quan trọng khác trong lý thuyết phạm trù, chẳng hạn như các chuỗi và hình tam giác chính xác.