Exactors in Category Theory: A Guide to Understanding Exactness in Functors

Eksaktorer er en måte å definere en forestilling om "nøyaktighet" for en funksjon, som kan brukes til å studere egenskapene til funksjonen.

En eksaktor er et par av en funksjon og en naturlig transformasjon mellom den og identitetsfunktoren. Tanken er at funktoren er "eksakt" i den forstand at den bevarer en slags struktur, for eksempel en gruppe- eller ringstruktur, og den naturlige transformasjonen er en måte å måle hvor godt funktoren bevarer denne strukturen.

For eksempel, hvis vi har en funksjon F: Grp -> Ab, der Grp er kategorien av grupper og Ab er kategorien av abelske grupper, så kan en eksaktor for F v
re et par (F, ε), der ε er en naturlig transformasjon fra F til identitetsfunksjonen Id_Ab, slik at ε(g) er en homomorfisme fra F(g) til g for alle objekter g i Grp. Dette betyr at F bevarer gruppestrukturen til objektene i Grp, og ε måler hvor godt F bevarer denne strukturen.

Exactors har mange anvendelser innen kategoriteori, inkludert studiet av grenser og kogrenser, definisjonen av avledede funksjoner, og studiet av naturlige transformasjoner mellom funksjoner. De er også n
rt knyttet til andre viktige begreper innen kategoriteori, som eksakte sekvenser og trekanter.