Comprendre les objets et les structures non commutatifs en mathématiques et en physique

En mathématiques, en particulier dans le contexte de l'algèbre et de la géométrie, un objet ou une structure non commutative est un objet qui ne satisfait pas à la propriété de commutativité. En d’autres termes, le produit de deux éléments ne fait pas nécessairement la navette, ce qui signifie que l’ordre dans lequel ils sont multipliés compte.

Par exemple, dans l’anneau des nombres entiers, le produit de deux nombres fait la navette :

3 × 4 = 4 × 3

Cependant, dans l'anneau des matrices, le produit de deux matrices ne fait pas toujours la navette :

[3 4] × [4 5] = [4 5] × [3 4] = [12 9]

Dans ce cas, l'ordre de multiplication compte , car le résultat est différent selon l'ordre dans lequel les matrices sont multipliées.

Les structures non commutatives sont courantes dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique, notamment :

* Géométrie algébrique : les coordonnées d'un point dans un espace non commutatif ne commutent pas avec chaque point. autre.
* Mécanique quantique : la position et l'impulsion d'une particule ne commutent pas entre elles, en raison du principe d'incertitude de Heisenberg.
* Topologie : les espaces topologiques non commutatifs ont été largement étudiés ces dernières années, avec des applications dans des domaines tels que les espaces topologiques condensés. physique de la matière et théorie des réseaux.

En résumé, les objets ou structures non commutatifs sont ceux qui ne satisfont pas à la propriété de commutativité, ce qui signifie que l'ordre de multiplication est important. Ces structures sont courantes dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique et ont des implications importantes pour notre compréhension de ces domaines.