मैट्रिसेस के कम्यूटेटर को समझना

दो मैट्रिक्स ए और बी का कम्यूटेटर, जिसे [ए,बी] द्वारा दर्शाया जाता है, एक मैट्रिक्स है जो एक मैट्रिक्स के संचालन को दूसरे पर लागू करने के परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है। विशेष रूप से, [ए,बी] = एबी-बीए। दूसरे शब्दों में, यह A और B के गुणनफल और B और A के गुणनफल के बीच का अंतर है। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास दो आव्यूह A = [a11, a12; ए21, ए22] और बी = [बी11, बी12; b21, b22], तो कम्यूटेटर [A,B] = AB -BA होगा:

[A,B] = [a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22; a21b11 + a22b21, a21b12 + a22b22] - [b11a11 + b12a21, b11a12 + b12a22; b21a11 + b22a21, b21a12 + b22a22]

= [a11b22 - b11a22, a12b21 - b12a21; a21b12 - b21a12, a22b11 - b22a11]

दो मैट्रिक्स के कम्यूटेटर का उपयोग मैट्रिक्स उत्पाद की आवागमन में विफलता को मापने के लिए किया जा सकता है। यदि कम्यूटेटर शून्य है, तो मैट्रिक्स उत्पाद कम्यूट होता है, जिसका अर्थ है कि जिस क्रम में हम मैट्रिक्स को गुणा करते हैं वह कोई मायने नहीं रखता। यदि कम्यूटेटर गैर-शून्य है, तो मैट्रिक्स उत्पाद कम्यूट नहीं होता है, और जिस क्रम में हम मैट्रिक्स को गुणा करते हैं वह मायने रखता है। संक्षेप में, दो मैट्रिक्स का कम्यूटेटर एक माप है कि मैट्रिक्स उत्पाद कितनी अच्छी तरह से कम्यूट करता है, और हो सकता है यह निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाता है कि उत्पाद क्रमविनिमेय है या नहीं।