Розуміння комутатора матриць

Комутатор двох матриць A і B, позначений [A,B], є матрицею, яка представляє результат застосування операції однієї матриці до іншої. Зокрема, [A,B] = AB -BA. Іншими словами, це різниця між добутком A і B, а також добутком B і A.

Наприклад, якщо у нас є дві матриці A = [a11, a12; a21, a22] і B = [b11, b12; b21, b22], тоді комутатор [A,B] = AB -BA буде:

[A,B] = [a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22; a21b11 + a22b21, a21b12 + a22b22] - [b11a11 + b12a21, b11a12 + b12a22; b21a11 + b22a21, b21a12 + b22a22]

= [a11b22 - b11a22, a12b21 - b12a21; a21b12 - b21a12, a22b11 - b22a11]

Комутатор двох матриць можна використовувати для вимірювання нездатності матричного добутку комутувати. Якщо комутатор дорівнює нулю, то матричний добуток комутує, тобто порядок, у якому ми множимо матриці, не має значення. Якщо комутатор відмінний від нуля, то матричний добуток не комутує, і порядок, у якому ми множимо матриці, має значення.

У підсумку, комутатор двох матриць є мірою того, наскільки добре матричний добуток комутує, і його можна використовується для визначення комутативності добутку чи ні.