Zrozumienie komutatora macierzy

Komutator dwóch macierzy A i B, oznaczony jako [A,B], jest macierzą reprezentującą wynik zastosowania działania jednej macierzy na drugą. W szczególności [A,B] = AB -BA. Innymi słowy, jest to różnica między iloczynem A i B oraz iloczynem B i A.

Na przykład, jeśli mamy dwie macierze A = [a11, a12; a21, a22] i B = [b11, b12; b21, b22], wówczas komutator [A,B] = AB -BA miałby postać:

[A,B] = [a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22; a21b11 + a22b21, a21b12 + a22b22] - [b11a11 + b12a21, b11a12 + b12a22; b21a11 + b22a21, b21a12 + b22a22]

= [a11b22 - b11a22, a12b21 - b12a21; a21b12 - b21a12, a22b11 - b22a11]
ćKomutator dwóch macierzy może być użyty do pomiaru braku komutacji iloczynu macierzy. Jeśli komutator wynosi zero, to iloczyn macierzy komutuje, co oznacza, że kolejność mnożenia macierzy nie ma znaczenia. Jeżeli komutator jest różny od zera, to iloczyn macierzowy nie dojeżdża i kolejność mnożenia macierzy ma znaczenie.….Podsumowując, komutator dwóch macierzy jest miarą tego, jak dobrze iloczyn macierzowy dojeżdża i może być służy do określenia, czy iloczyn jest przemienny, czy nie.