Mikä on mittaus? Esimerkkejä metriavaruuksista

Matematiikassa metriavaruus on joukko pisteitä, joilla on etäisyysfunktio, joka täyttää tietyt ominaisuudet. Etäisyysfunktio mahdollistaa etäisyyden mittaamisen minkä tahansa tilan kahden pisteen välillä. Metrisiä avaruuksia käytetään geometristen objektien ja muunnosten määrittelemiseen ja tutkimiseen, ja niillä on lukuisia sovelluksia esimerkiksi fysiikan, tekniikan ja tietojenkäsittelytieteen aloilla. Tässä vastauksessa tutkimme, mitä mittaaminen tarkoittaa ja joitain esimerkkejä metriavaruuksista.

Mitä on mittaus?

Metrisaatio on prosessi, jossa määritetään etäisyysfunktio pistejoukolle. Tämän etäisyysfunktion on täytettävä kolme ominaisuutta: ei-negatiivisuus (kahden pisteen välinen etäisyys on aina ei-negatiivinen), symmetria (kahden pisteen välinen etäisyys on sama molempiin suuntiin) ja kolmion epäyhtälö (kahden pisteen välinen etäisyys on pienempi tai yhtä suuri kuin etäisyyksien summa kolmanteen pisteeseen). Kun joukko pisteitä on mitattu, voimme määritellä geometrisia käsitteitä, kuten läheisyys, konvergenssi ja jatkuvuus.

Esimerkkejä metriavaruuksista:

1. Reaaliluvut vakioetäisyydellä: Kaikkien vakioetäisyysfunktiolla varustettujen reaalilukujen joukko (eli kahden reaaliluvun välisen eron itseisarvo) on metriavaruus. Tämä avaruus on täydellinen, mikä tarkoittaa, että mikä tahansa Cauchyn reaalilukujono konvergoi rajaan tässä avaruudessa.
2. Euklidinen avaruus, jossa on euklidinen etäisyys: Joukko reaalilukuja (missä n on positiivinen kokonaisluku), joka on varustettu euklidisella etäisyysfunktiolla (ts. kahden pisteen välisten erojen neliösumman neliöjuuri) on metrinen avaruus. Tämä tila on täydellinen ja sitä käytetään geometristen muotojen ja muunnosten tutkimiseen.
3. Diskreetin etäisyyden kokonaislukujoukot: Diskreetin etäisyyden funktiolla varustettujen kokonaislukujen joukko (eli 0, jos pisteet ovat yhtä suuret, 1, jos ne ovat erillisiä) on metriavaruus. Tämä tila ei ole täydellinen, mikä tarkoittaa, että on Cauchyn kokonaislukujonoja, jotka eivät konvergoi rajaan tässä avaruudessa.
4. Pallon kaikkien mahdollisten väritysten sarjat Hamming-etäisyydellä: Pallon kaikkien mahdollisten värjäysten joukko (jossa jokaiselle pallon pisteelle on määritetty väri), joka on varustettu Hamming-etäisyysfunktiolla (eli värien lukumäärällä, jotka eroavat toisistaan kaksi pistettä) on metrinen avaruus. Tämä tila ei ole täydellinen, mikä tarkoittaa, että on olemassa Cauchyn värjäyssekvenssejä, jotka eivät konvergoi rajaan tässä tilassa.

Lopuksi todettakoon, että metrisaatio on prosessi, jossa määritetään etäisyysfunktio pistejoukolle, ja sen avulla voimme tutkia geometrista objektit ja muunnokset käyttämällä matemaattisia käsitteitä, kuten läheisyys, konvergenssi ja jatkuvuus. On olemassa monia esimerkkejä metriavaruuksista, joista jokaisella on omat ominaisuutensa ja sovelluksensa. Mittaustekniikan ymmärtäminen on välttämätöntä matematiikan ja fysiikan opiskelulle, ja sillä on lukuisia käytännön sovelluksia muun muassa tietojenkäsittelytieteen ja tekniikan aloilla.