การวัดผลคืออะไร? ตัวอย่างของปริภูมิเมตริก
ในทางคณิตศาสตร์ ปริภูมิเมตริกคือเซตของจุดที่มีฟังก์ชันระยะทางซึ่งเป็นไปตามคุณสมบัติบางประการ ฟังก์ชันระยะทางช่วยให้เราสามารถวัดระยะห่างระหว่างจุดสองจุดใดๆ ในอวกาศได้ ปริภูมิเมตริกใช้ในการกำหนดและศึกษาวัตถุทางเรขาคณิตและการแปลง และมีการนำไปใช้งานมากมายในสาขาต่างๆ เช่น ฟิสิกส์ วิศวกรรมศาสตร์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์ ในคำตอบนี้ เราจะสำรวจว่าการวัดหมายถึงอะไรและตัวอย่างบางส่วนของปริภูมิเมตริก
การวัดคืออะไร
การวัดเป็นกระบวนการกำหนดฟังก์ชันระยะทางบนเซตของจุด ฟังก์ชันระยะทางนี้ต้องมีคุณสมบัติสามประการ: ไม่เป็นลบ (ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดไม่เป็นลบเสมอ), สมมาตร (ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดเท่ากันทั้งสองทิศทาง) และอสมการสามเหลี่ยม (ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดคือ น้อยกว่าหรือเท่ากับผลรวมของระยะทางถึงจุดที่สาม) เมื่อชุดของจุดได้รับการวัดแล้ว เราสามารถกำหนดแนวคิดทางเรขาคณิตได้ เช่น ความใกล้ชิด การบรรจบกัน และความต่อเนื่อง
ตัวอย่างปริภูมิเมตริก:
1 จำนวนจริงที่มีระยะห่างมาตรฐาน: เซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่มีฟังก์ชันระยะทางมาตรฐาน (เช่น ค่าสัมบูรณ์ของผลต่างระหว่างจำนวนจริงสองตัว) ถือเป็นปริภูมิหน่วยเมตริก ปริภูมินี้สมบูรณ์แล้ว หมายความว่าลำดับโคชีของจำนวนจริงมาบรรจบกันจนถึงขีดจำกัดในปริภูมินี้
2 ปริภูมิแบบยุคลิดที่มีระยะแบบยุคลิด: เซตของ n-tuples ทั้งหมดของจำนวนจริง (โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก) พร้อมด้วยฟังก์ชันระยะทางแบบยุคลิด (นั่นคือ รากที่สองของผลรวมของกำลังสองของความแตกต่างระหว่างจุดสองจุด) เป็นปริภูมิเมตริก พื้นที่นี้เสร็จสมบูรณ์แล้วและใช้เพื่อศึกษารูปทรงเรขาคณิตและการแปลง3. ชุดของจำนวนเต็มที่มีระยะห่างไม่ต่อเนื่อง: เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดที่มีฟังก์ชันระยะทางแยก (เช่น 0 หากจุดเท่ากัน และ 1 หากต่างกันชัดเจน) คือปริภูมิหน่วยเมตริก ปริภูมินี้ไม่สมบูรณ์ หมายความว่ามีลำดับโคชีของจำนวนเต็มที่ไม่ได้มาบรรจบกันจนถึงขีดจำกัดในปริภูมินี้
4 ชุดสีที่เป็นไปได้ทั้งหมดของทรงกลมที่มีระยะแฮมมิง: ชุดสีที่เป็นไปได้ทั้งหมดของทรงกลม (โดยที่แต่ละจุดบนทรงกลมถูกกำหนดสี) พร้อมด้วยฟังก์ชันระยะห่างแฮมมิง (นั่นคือ จำนวนสีที่แตกต่างกันระหว่าง จุดสองจุด) คือปริภูมิเมตริก พื้นที่นี้ไม่สมบูรณ์ หมายความว่ามีลำดับการระบายสีแบบ Cauchy ที่ไม่ได้มาบรรจบกันจนถึงขีดจำกัดในพื้นที่นี้ โดยสรุป การวัดเป็นกระบวนการกำหนดฟังก์ชันระยะทางบนเซตของจุด และช่วยให้เราสามารถศึกษาเรขาคณิตได้ วัตถุและการแปลงโดยใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์ เช่น ความใกล้ชิด การบรรจบกัน และความต่อเนื่อง มีตัวอย่างมากมายของช่องว่างเมตริก ซึ่งแต่ละตัวอย่างมีคุณสมบัติและการใช้งานของตัวเอง การทำความเข้าใจการวัดมิติเป็นสิ่งสำคัญสำหรับการศึกษาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ขั้นสูง และยังมีการใช้งานจริงมากมายในสาขาต่างๆ เช่น วิทยาการคอมพิวเตอร์และวิศวกรรมศาสตร์
ฉันชอบวิดีโอนี้
ฉันไม่ชอบวิดีโอนี้
รายงานข้อผิดพลาดของเนื้อหา
share
