Що таке метризація? Приклади метричних просторів

У математиці метричний простір — це набір точок, наділених функцією відстані, що задовольняє певні властивості. Функція відстані дозволяє нам виміряти відстань між будь-якими двома точками простору. Метричні простори використовуються для визначення та вивчення геометричних об’єктів і перетворень, і вони мають численні застосування в таких галузях, як фізика, техніка та інформатика. У цій відповіді ми дослідимо, що означає метризація, і наведемо деякі приклади метричних просторів.

Що таке метризація?

Метризація – це процес визначення функції відстані на наборі точок. Ця функція відстані повинна задовольняти трьом властивостям: невід’ємності (відстань між двома точками завжди невід’ємна), симетрії (відстань між двома точками однакова в обох напрямках) і нерівності трикутника (відстань між двома точками дорівнює менше або дорівнює сумі відстаней до третьої точки). Коли набір точок буде метризовано, ми можемо визначити такі геометричні поняття, як близькість, конвергенція та безперервність.

Приклади метричних просторів:

1. Дійсні числа зі стандартною відстанню: набір усіх дійсних чисел, оснащених функцією стандартної відстані (тобто абсолютне значення різниці між двома дійсними числами), є метричним простором. Цей простір є повним, тобто будь-яка послідовність дійсних чисел Коші збігається до межі в цьому просторі.
2. Евклідовий простір із евклідовою відстанню: набір усіх n-кортежів дійсних чисел (де n — додатне ціле число), обладнаних функцією евклідової відстані (тобто квадратний корінь із суми квадратів різниць між двома точками) є метричним простором. Цей простір є повним і використовується для вивчення геометричних форм і перетворень.
3. Множини цілих чисел із дискретною відстанню: множина всіх цілих чисел, оснащених функцією дискретної відстані (тобто 0, якщо точки рівні, 1, якщо вони різні), є метричним простором. Цей простір не є повним, тобто існують послідовності Коші цілих чисел, які не збігаються до межі в цьому просторі.
4. Набори всіх можливих забарвлень сфери з відстанню Хеммінга: набір усіх можливих забарвлень сфери (де кожній точці на сфері призначається колір), обладнаний функцією відстані Хеммінга (тобто кількість кольорів, що відрізняються між дві точки) є метричним простором. Цей простір не є повним, тобто існують послідовності розмальовок Коші, які не сходяться до межі в цьому просторі.

На завершення, метризація — це процес визначення функції відстані на наборі точок, і це дозволяє нам вивчати геометричні об’єкти та перетворення з використанням таких математичних понять, як близькість, конвергенція та безперервність. Є багато прикладів метричних просторів, кожен з яких має свої властивості та застосування. Розуміння метризації є важливим для вивчення передової математики та фізики, і воно має численні практичні застосування в таких галузях, як інформатика та інженерія.