Apa itu Metrisasi? Contoh Ruang Metrik

Dalam matematika, ruang metrik adalah sekumpulan titik yang memiliki fungsi jarak yang memenuhi sifat tertentu. Fungsi jarak memungkinkan kita mengukur jarak antara dua titik mana pun dalam ruang. Ruang metrik digunakan untuk mendefinisikan dan mempelajari objek dan transformasi geometris, dan memiliki banyak penerapan di berbagai bidang seperti fisika, teknik, dan ilmu komputer. Pada jawaban kali ini, kita akan mendalami apa yang dimaksud dengan metrisasi dan beberapa contoh ruang metrik.

Apa itu metrisasi?

Metrisasi adalah proses mendefinisikan fungsi jarak pada sekumpulan titik. Fungsi jarak ini harus memenuhi tiga sifat: non-negatif (jarak antara dua titik selalu non-negatif), simetri (jarak antara dua titik sama di kedua arah), dan pertidaksamaan segitiga (jarak antara dua titik adalah sama). kurang dari atau sama dengan jumlah jarak ke titik ketiga). Setelah sekumpulan titik diukur, kita dapat mendefinisikan konsep geometri seperti kedekatan, konvergensi, dan kontinuitas.

Contoh ruang metrik:

1. Bilangan real dengan jarak standar: Himpunan semua bilangan real yang dilengkapi dengan fungsi jarak standar (yaitu nilai mutlak selisih dua bilangan real) adalah ruang metrik. Ruang ini lengkap, artinya setiap barisan bilangan real Cauchy konvergen hingga suatu limit di ruang ini.
2. Ruang Euclidean dengan jarak Euclidean: Himpunan semua n-tupel bilangan real (dengan n adalah bilangan bulat positif) yang dilengkapi dengan fungsi jarak Euclidean (yaitu, akar kuadrat dari jumlah kuadrat selisih antara dua titik) adalah ruang metrik. Ruang ini lengkap dan digunakan untuk mempelajari bentuk dan transformasi geometri.
3. Himpunan bilangan bulat dengan jarak diskrit: Himpunan semua bilangan bulat yang dilengkapi dengan fungsi jarak diskrit (yaitu, 0 jika titik-titiknya sama, 1 jika berbeda) adalah ruang metrik. Ruang ini tidak lengkap, artinya terdapat barisan bilangan bulat Cauchy yang tidak konvergen hingga suatu limit pada ruang tersebut.
4. Himpunan semua kemungkinan pewarnaan bola dengan jarak Hamming: Himpunan semua kemungkinan pewarnaan bola (di mana setiap titik pada bola diberi warna) yang dilengkapi dengan fungsi jarak Hamming (yaitu, jumlah warna yang berbeda antara dua titik) adalah ruang metrik. Ruang ini belum lengkap, artinya terdapat barisan pewarnaan Cauchy yang tidak menyatu hingga batas tertentu pada ruang tersebut.

Kesimpulannya, metrisasi adalah proses pendefinisian fungsi jarak pada sekumpulan titik, dan memungkinkan kita mempelajari geometri objek dan transformasi menggunakan konsep matematika seperti kedekatan, konvergensi, dan kontinuitas. Ada banyak contoh ruang metrik, masing-masing memiliki sifat dan penerapannya sendiri. Memahami metrisasi sangat penting untuk mempelajari matematika dan fisika tingkat lanjut, dan memiliki banyak penerapan praktis di berbagai bidang seperti ilmu komputer dan teknik.