Apakah Metrization? Contoh Ruang Metrik

Dalam matematik, ruang metrik ialah satu set titik yang dikurniakan fungsi jarak yang memenuhi sifat tertentu. Fungsi jarak membolehkan kita mengukur jarak antara mana-mana dua titik dalam ruang. Ruang metrik digunakan untuk mentakrif dan mengkaji objek dan transformasi geometri, dan ia mempunyai banyak aplikasi dalam bidang seperti fizik, kejuruteraan dan sains komputer. Dalam jawapan ini, kita akan meneroka maksud metrisasi dan beberapa contoh ruang metrik.

Apakah metrisasi?

Metrisasi ialah proses mentakrifkan fungsi jarak pada set titik. Fungsi jarak ini mesti memenuhi tiga sifat: bukan negatif (jarak antara dua titik sentiasa bukan negatif), simetri (jarak antara dua titik adalah sama dalam kedua-dua arah), dan ketaksamaan segitiga (jarak antara dua titik ialah kurang daripada atau sama dengan jumlah jarak ke titik ketiga). Apabila satu set titik telah dimeterkan, kita boleh mentakrifkan konsep geometri seperti kedekatan, penumpuan dan kesinambungan.

Contoh ruang metrik:

1. Nombor nyata dengan jarak piawai: Set semua nombor nyata yang dilengkapi dengan fungsi jarak piawai (iaitu, nilai mutlak perbezaan antara dua nombor nyata) ialah ruang metrik. Ruang ini lengkap, bermakna mana-mana jujukan Cauchy nombor nyata menumpu kepada had dalam ruang ini.
2. Ruang Euclidean dengan jarak Euclidean: Set semua n-tuple nombor nyata (di mana n ialah integer positif) dilengkapi dengan fungsi jarak Euclidean (iaitu, punca kuasa dua hasil tambah kuasa dua perbezaan antara dua titik) ialah ruang metrik. Ruang ini lengkap dan digunakan untuk mengkaji bentuk dan transformasi geometri.
3. Set integer dengan jarak diskret: Set semua integer yang dilengkapi dengan fungsi jarak diskret (iaitu, 0 jika titik sama, 1 jika berbeza) ialah ruang metrik. Ruang ini tidak lengkap, bermakna terdapat jujukan Cauchy integer yang tidak menumpu kepada had dalam ruang ini.
4. Set semua kemungkinan pewarnaan sfera dengan jarak Hamming: Set semua kemungkinan pewarnaan sfera (di mana setiap titik pada sfera diberi warna) dilengkapi dengan fungsi jarak Hamming (iaitu, bilangan warna yang berbeza antara dua titik) ialah ruang metrik. Ruang ini tidak lengkap, bermakna terdapat jujukan pewarna Cauchy yang tidak menumpu kepada had dalam ruang ini.

Kesimpulannya, metrisasi ialah proses mentakrifkan fungsi jarak pada set titik, dan ia membolehkan kita mengkaji geometri. objek dan transformasi menggunakan konsep matematik seperti kedekatan, penumpuan, dan kesinambungan. Terdapat banyak contoh ruang metrik, masing-masing mempunyai sifat dan aplikasinya sendiri. Memahami metrisasi adalah penting untuk mempelajari matematik dan fizik lanjutan, dan ia mempunyai banyak aplikasi praktikal dalam bidang seperti sains komputer dan kejuruteraan.