Что такое метризация? Примеры метрических пространств

В математике метрическое пространство — это набор точек, наделенных функцией расстояния, удовлетворяющей определенным свойствам. Функция расстояния позволяет нам измерить расстояние между любыми двумя точками пространства. Метрические пространства используются для определения и изучения геометрических объектов и преобразований и имеют множество применений в таких областях, как физика, инженерия и информатика. В этом ответе мы рассмотрим, что означает метризация, и некоторые примеры метрических пространств.

Что такое метризация?

Метризация — это процесс определения функции расстояния на множестве точек. Эта функция расстояния должна удовлетворять трем свойствам: неотрицательности (расстояние между двумя точками всегда неотрицательно), симметрии (расстояние между двумя точками одинаково в обоих направлениях) и неравенству треугольника (расстояние между двумя точками равно меньше или равно сумме расстояний до третьей точки). После метризации набора точек мы можем определить геометрические понятия, такие как близость, сходимость и непрерывность.

Примеры метрических пространств:

1. Действительные числа со стандартным расстоянием: набор всех действительных чисел, снабженных функцией стандартного расстояния (т. Е. Абсолютное значение разницы между двумя действительными числами), представляет собой метрическое пространство. Это пространство является полным, что означает, что любая последовательность Коши действительных чисел сходится к пределу в этом пространстве.
2. Евклидово пространство с евклидовым расстоянием: набор всех n-кортежей действительных чисел (где n — целое положительное число), снабженных функцией евклидова расстояния (т. е. квадратным корнем из суммы квадратов разностей между двумя точками). является метрическим пространством. Это пространство является законченным и используется для изучения геометрических фигур и преобразований.
3. Наборы целых чисел с дискретным расстоянием: набор всех целых чисел, снабженных функцией дискретного расстояния (т. е. 0, если точки равны, 1, если они различны), представляет собой метрическое пространство. Это пространство не является полным, а это означает, что существуют последовательности Коши целых чисел, которые не сходятся к пределу в этом пространстве.
4. Наборы всех возможных раскрасок сферы с расстоянием Хэмминга: набор всех возможных раскрасок сферы (где каждой точке сферы присвоен цвет), оснащенный функцией расстояния Хэмминга (т. Е. Количество цветов, которые различаются между собой). две точки) является метрическим пространством. Это пространство не является полным, а это означает, что существуют последовательности раскрасок Коши, которые не сходятся к пределу в этом пространстве.

В заключение, метризация - это процесс определения функции расстояния на множестве точек, и он позволяет нам изучать геометрические объекты и преобразования с использованием математических понятий, таких как близость, конвергенция и непрерывность. Существует множество примеров метрических пространств, каждое из которых имеет свои свойства и приложения. Понимание метризации необходимо для изучения высшей математики и физики, а также имеет множество практических применений в таких областях, как информатика и инженерия.