計量化とは何ですか?計量空間の例
数学では、計量空間は、特定の特性を満たす距離関数を備えた点のセットです。距離関数を使用すると、空間内の任意の 2 点間の距離を測定できます。計量空間は、幾何学的なオブジェクトと変換を定義および研究するために使用され、物理学、工学、コンピューター サイエンスなどの分野で数多くの用途があります。この回答では、計量化の意味と計量空間のいくつかの例について説明します。この距離関数は、非負性 (2 点間の距離は常に非負である)、対称性 (2 点間の距離は両方向で同じ)、三角不等式 (2 点間の距離は次のとおり) の 3 つの特性を満たさなければなりません。 3 番目の点までの距離の合計以下)。一連の点が計量化されると、近さ、収束、連続性などの幾何学的概念を定義できます。計量空間の例:
1。標準距離を持つ実数: 標準距離関数を備えたすべての実数の集合 (つまり、2 つの実数間の差の絶対値) が計量空間です。この空間は完全です。これは、実数のコーシー列がこの空間内の極限に収束することを意味します。ユークリッド距離を備えたユークリッド空間: ユークリッド距離関数 (つまり、2 点間の差の二乗和の平方根) を備えた実数のすべての n タプルのセット (n は正の整数)は計量空間です。この空間は完成しており、幾何学的形状と変形を研究するために使用されます。
3。離散距離を持つ整数のセット: 離散距離関数を備えたすべての整数のセット (つまり、点が等しい場合は 0、異なる場合は 1) は計量空間です。この空間は完全ではありません。これは、この空間内に極限に収束しない整数のコーシー列が存在することを意味します。ハミング距離を使用した球の可能なすべての色のセット: ハミング距離関数 (つまり、点間で異なる色の数) を備えた球のすべての可能な色のセット (球上の各点に色が割り当てられている)。 2 点) は計量空間です。この空間は完全ではありません。これは、この空間内に限界まで収束しないコーシーのカラーリングのシーケンスが存在することを意味します。結論として、計量化は一連の点に対する距離関数を定義するプロセスであり、幾何学的な研究を可能にします。近さ、収束、連続性などの数学的概念を使用したオブジェクトと変換。計量空間の例は数多くあり、それぞれに独自の特性と用途があります。計量化を理解することは、高度な数学や物理学を研究するために不可欠であり、コンピュータ サイエンスやエンジニアリングなどの分野で多くの実際的な応用が可能です。
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