Hyperalgebra's: een generalisatie van algebra's met meerdere uitgangen

Hyperalgebra's zijn algebraïsche structuren die het idee van een algebra generaliseren, maar meerdere outputs of "outputs" van een enkele bewerking mogelijk maken. Ze werden in de jaren tachtig geïntroduceerd door de wiskundige Jean-Pierre Demailly en zijn sindsdien bestudeerd op verschillende gebieden van de wiskunde, waaronder universele algebra, categorietheorie en homologische algebra. In een hyperalgebra heeft elke bewerking een reeks invoergegevens en een reeks van outputs, in plaats van slechts één output zoals in een gewone algebra. Dit zorgt voor meer flexibiliteit bij het modelleren van bepaalde soorten systemen, zoals systemen met meerdere uitgangen of feedbacklussen. Een hyperalgebra zou bijvoorbeeld kunnen worden gebruikt om een systeem weer te geven met twee ingangen en drie uitgangen, waarbij elke ingang alle drie de uitgangen op verschillende manieren kan beïnvloeden. Hyperalgebra's hebben ook enkele andere kenmerken die hen onderscheiden van gewone algebra's. Ze kunnen bijvoorbeeld 'hoger-dimensionale' bewerkingen hebben, zoals bewerkingen die meer dan twee inputs vergen of meer dan één output produceren. Ze kunnen ook "niet-associatieve" bewerkingen hebben, die niet voldoen aan de gebruikelijke associativiteitseigenschap van een algebra. Enkele voorbeelden van hyperalgebra's zijn: Hypergroepen, dit zijn generalisaties van groepen die meerdere uitvoer van een enkele bewerking mogelijk maken. Hyperringen, dit zijn generalisaties van ringen die meerdere uitvoer van een enkele bewerking mogelijk maken.* Hypervelden, dit zijn generalisaties van velden die meerdere uitvoer van een enkele bewerking mogelijk maken.* Hypervectoren, dit zijn generalisaties van vectoren die meerdere uitvoer mogelijk maken van een enkele bewerking. Hyperalgebra's hebben toepassingen gevonden in verschillende gebieden van de wiskunde en informatica, zoals: Universele algebra, waar ze een manier bieden om de eigenschappen van algebra's te bestuderen die niet noodzakelijkerwijs associatief of commutatief zijn. Categorietheorie, waar ze een manier bieden om de eigenschappen van functoren en natuurlijke transformaties tussen categorieën te bestuderen.* Homologische algebra, waar ze een manier bieden om de eigenschappen van homologie- en cohomologietheorieën te bestuderen.* Computerwetenschappen, waar ze zijn gebruikt voor het modelleren en analyseer systemen met meerdere uitgangen of feedbacklussen, zoals digitale circuits en computernetwerken.