Принцип на включване-изключване в комбинаториката: Изчисляване на размера на набора с лекота
Принципът на включване-изключване е техника, използвана в комбинаториката за изчисляване на размера на набор чрез разделянето му на по-малки подмножества и преброяване на тяхното пресичане. Базира се на идеята, че ако имаме две множества, A и B, и искаме да преброим елементите, които са и в двете групи, можем да го направим, като извадим елементите, които са само в A, от общия брой елементи в A и след това обратно добавяне на елементите, които са само в B.
По-формално, нека A и B са две множества и нека |A| е броят на елементите в A. Тогава принципът на включване-изключване гласи, че:
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
където |A ∪ B| е броят на елементите в обединението на A и B и |A ∩ B| е броят на елементите, които са както в A, така и в B.
Идеята зад тази формула е, че можем да изчислим размера на обединението на две множества, като първо преброим броя на елементите във всяко множество поотделно и след това извадим елементите, които са само в едно от множествата (т.е. елементите в пресечната точка). Това ни дава общия брой елементи в обединението, което е сумата от броя на елементите във всеки набор минус броя на елементите, които са само в един от наборите.
Например, да кажем, че имаме два набора: A = {1, 2, 3} и B = {4, 5, 6}. За да изчислим размера на тяхното обединение, като използваме принципа на включване-изключване, първо преброяваме броя на елементите във всеки набор поотделно:
|A| = 3
|B| = 3
След това изчисляваме броя на елементите, които са в двата набора, като броим тяхното пресичане:
|A ∩ B| = 2 (тъй като 1 и 2 са и в двата набора)
Сега можем да използваме принципа на включване-изключване, за да изчислим размера на обединението:
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
= 3 + 3 - 2
= 6
Така че размерът на обединението на A и B е 6.
Принципът на включване-изключване има много приложения в комбинаториката, като например преброяване на броя на пермутациите, комбинациите и решенията към уравнения. Това е мощен инструмент за решаване на проблеми с броенето и може да се използва за опростяване на сложни изчисления.
Това ми харесва
Това не ми харесва
Съобщете за грешка в съдържанието
Сподели
