Inclusie-uitsluitingsprincipe in combinatoriek: de setgrootte met gemak berekenen

Het inclusie-uitsluitingsprincipe is een techniek die in de combinatoriek wordt gebruikt om de grootte van een set te berekenen door deze op te splitsen in kleinere subsets en hun snijpunten te tellen. Het is gebaseerd op het idee dat als we twee sets hebben, A en B, en we de elementen uit beide sets willen tellen, we dit kunnen doen door de elementen die alleen in A voorkomen af te trekken van het totale aantal elementen in A, en dan de elementen terug toevoegen die alleen in B zitten.

Formeeler: laat A en B twee sets zijn, en laat |A| het aantal elementen in A zijn. Vervolgens stelt het inclusie-uitsluitingsprincipe dat:

|A ∪ B| = |EEN| + |B| - |A ∩ B|

waar |A ∪ B| is het aantal elementen in de vereniging van A en B, en |A ∩ B| is het aantal elementen dat zowel in A als in B zit.

Het idee achter deze formule is dat we de grootte van de vereniging van twee sets kunnen berekenen door eerst het aantal elementen in elke set afzonderlijk te tellen en vervolgens de elementen af te trekken die bevinden zich slechts in een van de sets (dat wil zeggen de elementen op het snijpunt). Dit geeft ons het totale aantal elementen in de vereniging, wat de som is van het aantal elementen in elke set minus het aantal elementen dat zich slechts in één van de sets bevindt. Laten we bijvoorbeeld zeggen dat we twee sets hebben: A = {1, 2, 3} en B = {4, 5, 6}. Om de grootte van hun unie te berekenen met behulp van het inclusie-uitsluitingsprincipe, tellen we eerst het aantal elementen in elke set afzonderlijk:

|A| = 3
|B| = 3

Vervolgens berekenen we het aantal elementen dat in beide sets zit door hun snijpunt te tellen:

|A ∩ B| = 2 (aangezien 1 en 2 in beide sets voorkomen)

Nu kunnen we het inclusie-uitsluitingsprincipe gebruiken om de grootte van de unie te berekenen:

|A ∪ B| = |EEN| + |B| - |A ∩ B|
= 3 + 3 - 2
= 6

Dus de grootte van de vereniging van A en B is 6.

Inclusie-uitsluitingsprincipe heeft veel toepassingen in de combinatoriek, zoals het tellen van het aantal permutaties, combinaties en oplossingen aan vergelijkingen. Het is een krachtig hulpmiddel voor het oplossen van telproblemen en kan worden gebruikt om complexe berekeningen te vereenvoudigen.