कॉम्बिनेटरिक्स में समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत: आसानी से सेट आकार की गणना करना

समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत एक ऐसी तकनीक है जिसका उपयोग कॉम्बिनेटरिक्स में एक सेट के आकार की गणना करने के लिए इसे छोटे उपसमूहों में तोड़कर और उनके प्रतिच्छेदन की गणना करके किया जाता है। यह इस विचार पर आधारित है कि यदि हमारे पास दो सेट हैं, ए और बी, और हम उन तत्वों को गिनना चाहते हैं जो दोनों सेटों में हैं, तो हम तत्वों की कुल संख्या से केवल ए में मौजूद तत्वों को घटाकर ऐसा कर सकते हैं। ए, और फिर उन तत्वों को वापस जोड़ना जो केवल बी में हैं।

अधिक औपचारिक रूप से, ए और बी को दो सेट होने दें, और |ए| ए में तत्वों की संख्या हो। फिर, समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत कहता है कि:

|ए ∪ बी| = |ए| + |बी| - |ए ∩ बी|

जहां |ए ∪ बी| A और B के मिलन में तत्वों की संख्या है, और |A ∩ B| ए और बी दोनों में मौजूद तत्वों की संख्या है। इस सूत्र के पीछे विचार यह है कि हम पहले प्रत्येक सेट में तत्वों की संख्या को अलग-अलग गिनकर और फिर उन तत्वों को घटाकर दो सेटों के मिलन के आकार की गणना कर सकते हैं। केवल एक सेट में हैं (यानी, प्रतिच्छेदन में तत्व)। इससे हमें संघ में तत्वों की कुल संख्या मिलती है, जो प्रत्येक सेट में तत्वों की संख्या का योग है, जो केवल एक सेट में मौजूद तत्वों की संख्या को घटाता है।

उदाहरण के लिए, मान लें कि हमारे पास दो सेट हैं: ए = {1, 2, 3} और बी = {4, 5, 6}। समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग करके उनके संघ के आकार की गणना करने के लिए, हम पहले प्रत्येक सेट में तत्वों की संख्या को अलग से गिनते हैं:

|ए| = 3
|बी| = 3

अगला, हम उनके प्रतिच्छेदन की गणना करके दोनों सेटों में मौजूद तत्वों की संख्या की गणना करते हैं:

|ए ∩ बी| = 2 (चूंकि 1 और 2 दोनों सेटों में हैं)

अब हम संघ के आकार की गणना करने के लिए समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग कर सकते हैं:

|ए ∪ बी| = |ए| + |बी| - |ए ∩ बी|
= 3 + 3 - 2
= 6

तो, ए और बी के मिलन का आकार 6 है। समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत के कॉम्बिनेटरिक्स में कई अनुप्रयोग हैं, जैसे क्रमपरिवर्तन, संयोजन और समाधान की संख्या की गणना करना समीकरणों के लिए. यह गिनती की समस्याओं को हल करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है और इसका उपयोग जटिल गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है।