Principio de inclusión-exclusión en combinatoria: calcular el tamaño del conjunto con facilidad

El principio de inclusión-exclusión es una técnica utilizada en combinatoria para calcular el tamaño de un conjunto dividiéndolo en subconjuntos más pequeños y contando su intersección. Se basa en la idea de que si tenemos dos conjuntos, A y B, y queremos contar los elementos que están en ambos conjuntos, podemos hacerlo restando los elementos que solo están en A del número total de elementos en A, y luego volver a agregar los elementos que solo están en B.

Más formalmente, sean A y B dos conjuntos, y sea |A| sea el número de elementos en A. Entonces, el principio de inclusión-exclusión establece que:

|A ∪ B| = |A| |B| - |A ∩ B|

donde |A ∪ B| es el número de elementos en la unión de A y B, y |A ∩ B| es el número de elementos que están tanto en A como en B. La idea detrás de esta fórmula es que podemos calcular el tamaño de la unión de dos conjuntos contando primero el número de elementos en cada conjunto por separado y luego restando los elementos que están solo en uno de los conjuntos (es decir, los elementos en la intersección). Esto nos da el número total de elementos en la unión, que es la suma del número de elementos en cada conjunto menos el número de elementos que están solo en uno de los conjuntos. Por ejemplo, digamos que tenemos dos conjuntos: A = {1, 2, 3} y B = {4, 5, 6}. Para calcular el tamaño de su unión utilizando el principio de inclusión-exclusión, primero contamos el número de elementos en cada conjunto por separado:

|A| = 3
|B| = 3

A continuación, calculamos el número de elementos que están en ambos conjuntos contando su intersección:

|A ∩ B| = 2 (ya que 1 y 2 están en ambos conjuntos)

Ahora podemos usar el principio de inclusión-exclusión para calcular el tamaño de la unión:

|A ∪ B| = |A| |B| - |A ∩ B|
= 3 + 3 - 2
= 6

Entonces, el tamaño de la unión de A y B es 6.

El principio de inclusión-exclusión tiene muchas aplicaciones en combinatoria, como contar el número de permutaciones, combinaciones y soluciones. a ecuaciones. Es una herramienta poderosa para resolver problemas de conteo y puede usarse para simplificar cálculos complejos.