Principio di inclusione-esclusione in combinatoria: calcolare facilmente la dimensione dell'insieme

Il principio di inclusione-esclusione è una tecnica utilizzata in combinatoria per calcolare la dimensione di un insieme suddividendolo in sottoinsiemi più piccoli e contando la loro intersezione. Si basa sull'idea che se abbiamo due insiemi, A e B, e vogliamo contare gli elementi che sono in entrambi gli insiemi, possiamo farlo sottraendo gli elementi che sono solo in A dal numero totale di elementi in A, e poi sommando gli elementi che sono solo in B.

Più formalmente, siano A e B due insiemi, e sia |A| essere il numero degli elementi di A. Allora il principio di inclusione-esclusione afferma che:

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

dove |A ∪ B| è il numero di elementi nell'unione di A e B, e |A ∩ B| è il numero di elementi presenti sia in A che in B.

L'idea alla base di questa formula è che possiamo calcolare la dimensione dell'unione di due insiemi contando prima il numero di elementi in ciascun insieme separatamente, quindi sottraendo gli elementi che lo compongono sono solo in uno degli insiemi (cioè gli elementi nell'intersezione). Questo ci dà il numero totale di elementi nell'unione, che è la somma del numero di elementi in ciascun insieme meno il numero di elementi che si trovano solo in uno degli insiemi.

Per esempio, supponiamo di avere due insiemi: A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6}. Per calcolare la dimensione della loro unione utilizzando il principio di inclusione-esclusione, contiamo prima il numero di elementi in ciascun insieme separatamente:

|A| = 3
|B| = 3

Successivamente, calcoliamo il numero di elementi presenti in entrambi gli insiemi contando la loro intersezione:

|A ∩ B| = 2 (poiché 1 e 2 sono in entrambi gli insiemi)

Ora possiamo usare il principio di inclusione-esclusione per calcolare la dimensione dell'unione:

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
= 3 + 3 - 2
= 6

Quindi, la dimensione dell'unione di A e B è 6.

Il principio di inclusione-esclusione ha molte applicazioni in combinatoria, come il conteggio del numero di permutazioni, combinazioni e soluzioni alle equazioni. È un potente strumento per risolvere problemi di conteggio e può essere utilizzato per semplificare calcoli complessi.