Inkluderings-eksklusjonsprinsipp i kombinatorikk: Beregn settstørrelse på en enkel måte

Inkluderings-eksklusjonsprinsippet er en teknikk som brukes i kombinatorikk for å beregne størrelsen på et sett ved å dele det ned i mindre delmengder og telle skj
ringspunktet deres. Det er basert på ideen om at hvis vi har to sett, A og B, og vi ønsker å telle elementene som er i begge settene, kan vi gjøre det ved å trekke elementene som bare er i A fra det totale antallet elementer i A, og deretter legge tilbake elementene som bare er i B.

Mer formelt, la A og B v
re to sett, og la |A| v
re antall elementer i A. Deretter sier inkluderings-ekskluderingsprinsippet at:

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

where |A ∪ B| er antall elementer i foreningen av A og B, og |A ∩ B| er antall elementer som er i både A og B.

Ideen bak denne formelen er at vi kan beregne størrelsen på foreningen av to sett ved først å telle antall elementer i hvert sett separat, og deretter trekke ut elementene som er bare i ett av settene (dvs. elementene i skj
ringspunktet). Dette gir oss det totale antallet elementer i foreningen, som er summen av antall elementer i hvert sett minus antall elementer som bare er i ett av mengdene.

For eksempel, la oss si at vi har to sett: A = {1, 2, 3} og B = {4, 5, 6}. For å beregne størrelsen på deres forening ved å bruke inkluderings-ekskluderingsprinsippet, teller vi først antall elementer i hvert sett separat:

|A| = 3
|B| = 3

Deretter beregner vi antall elementer som er i begge settene ved å telle deres skj
ringspunkt:

|A ∩ B| = 2 (siden 1 og 2 er i begge settene)

Nå kan vi bruke inkluderings-ekskluderingsprinsippet for å beregne størrelsen på foreningen:

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
= 3 + 3 - 2
= 6

Så, størrelsen på foreningen av A og B er 6.

Inklusjon-eksklusjonsprinsippet har mange anvendelser i kombinatorikk, for eksempel å telle antall permutasjoner, kombinasjoner og løsninger til ligninger. Det er et kraftig verktøy for å løse telleproblemer og kan brukes til å forenkle komplekse beregninger.