หลักการรวม-แยกใน Combinatorics: การคำนวณขนาดชุดอย่างง่ายดาย
หลักการรวม-แยกเป็นเทคนิคที่ใช้ในเชิงคณิตศาสตร์เพื่อคำนวณขนาดของเซตโดยการแบ่งเซตย่อยออกเป็นเซตย่อยที่เล็กลงและนับจุดตัดกัน มีพื้นฐานอยู่บนแนวคิดที่ว่า หากเรามีสองชุด คือ A และ B และเราต้องการนับจำนวนสมาชิกที่อยู่ในทั้งสองชุด เราก็สามารถทำได้โดยการลบสมาชิกที่อยู่ใน A เท่านั้นออกจากจำนวนสมาชิกทั้งหมดในเซต A แล้วบวกองค์ประกอบที่อยู่ใน B.
เข้าไปใหม่อย่างเป็นทางการ ให้ A และ B เป็นสองชุด และให้ |A| เป็นจำนวนองค์ประกอบใน A จากนั้น หลักการรวม-แยก ระบุว่า:
|A ∪ B| = |ก| + |B| - |A ∩ B|
ที่ไหน |A ∪ B| คือจำนวนสมาชิกในสหภาพของ A และ B และ |A ∩ B| คือจำนวนองค์ประกอบที่อยู่ในทั้ง A และ B แนวคิดเบื้องหลังสูตรนี้คือเราสามารถคำนวณขนาดของการรวมกันของสองชุดได้โดยการนับจำนวนองค์ประกอบในแต่ละชุดแยกกันก่อน แล้วจึงลบองค์ประกอบที่ อยู่ในชุดใดชุดหนึ่งเท่านั้น (เช่น องค์ประกอบที่อยู่ในจุดตัด) นี่จะทำให้เราทราบจำนวนองค์ประกอบทั้งหมดในการรวม ซึ่งเป็นผลรวมของจำนวนองค์ประกอบในแต่ละชุดลบด้วยจำนวนองค์ประกอบที่อยู่ในชุดใดชุดหนึ่งเท่านั้น
ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเรามีสองชุด: A = {1, 2, 3} และ B = {4, 5, 6} ในการคำนวณขนาดของการรวมเข้าด้วยกันโดยใช้หลักการรวม-แยก อันดับแรกเราจะนับจำนวนองค์ประกอบในแต่ละชุดแยกกัน:
|A| = 3
|B| = 3
ต่อไป เราคำนวณจำนวนองค์ประกอบที่อยู่ในทั้งสองเซตโดยการนับจุดตัดกัน:
|A ∩ B| = 2 (เนื่องจาก 1 และ 2 อยู่ในทั้งสองเซต)
ตอนนี้เราสามารถใช้หลักการรวม-แยกเพื่อคำนวณขนาดของสหภาพ:
|A ∪ B| = |ก| + |B| - |A ∩ B|
= 3 + 3 - 2
= 6
ดังนั้น ขนาดของการรวมกันของ A และ B เท่ากับ 6.
หลักการรวม-แยก มีการใช้งานหลายอย่างในเชิงผสม เช่น การนับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยน การรวมกัน และการเฉลย ถึงสมการ เป็นเครื่องมืออันทรงพลังสำหรับการแก้ปัญหาการนับและสามารถใช้เพื่อลดความซับซ้อนในการคำนวณ
ฉันชอบวิดีโอนี้
ฉันไม่ชอบวิดีโอนี้
รายงานข้อผิดพลาดของเนื้อหา
share
