Принцип включення-виключення в комбінаториці: легке обчислення розміру набору

Принцип включення-виключення — це техніка, яка використовується в комбінаториці для обчислення розміру набору шляхом розбиття його на менші підмножини та підрахунку їх перетину. Він заснований на ідеї, що якщо у нас є дві множини, A і B, і ми хочемо порахувати елементи, які є в обох множинах, ми можемо зробити це, віднявши елементи, які є тільки в A, із загальної кількості елементів у A, а потім додавання назад елементів, які є лише в B.

Більш формально, нехай A і B є двома наборами, і нехай |A| буде числом елементів у A. Тоді принцип включення-виключення стверджує, що:

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

де |A ∪ B| це кількість елементів в об’єднанні A і B, і |A ∩ B| це кількість елементів, які є як у A, так і в B.

Ідея цієї формули полягає в тому, що ми можемо обчислити розмір об’єднання двох множин, спочатку підрахувавши кількість елементів у кожній множині окремо, а потім віднявши елементи, які знаходяться лише в одній із множин (тобто елементи в перетині). Це дає нам загальну кількість елементів в об’єднанні, яка є сумою кількості елементів у кожному наборі мінус кількість елементів, які є лише в одному з наборів.

Наприклад, припустімо, що у нас є два набори: A = {1, 2, 3} і B = {4, 5, 6}. Щоб обчислити розмір їхнього об’єднання за принципом включення-виключення, ми спочатку підраховуємо кількість елементів у кожному наборі окремо:

|A| = 3
|B| = 3

Далі ми обчислюємо кількість елементів, які є в обох наборах, підраховуючи їх перетин:

|A ∩ B| = 2 (оскільки 1 і 2 є в обох наборах)

Тепер ми можемо використати принцип включення-виключення для обчислення розміру об’єднання:

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
= 3 + 3 - 2
= 6

Отже, розмір об'єднання A і B дорівнює 6.

Принцип включення-виключення має багато застосувань у комбінаториці, наприклад підрахунок кількості перестановок, комбінацій і рішень до рівнянь. Це потужний інструмент для вирішення задач підрахунку, який можна використовувати для спрощення складних обчислень.