Principe d'inclusion-exclusion en combinatoire : calculer facilement la taille d'un ensemble

Le principe d'inclusion-exclusion est une technique utilisée en combinatoire pour calculer la taille d'un ensemble en le décomposant en sous-ensembles plus petits et en comptant leur intersection. Il est basé sur l'idée que si nous avons deux ensembles, A et B, et que nous voulons compter les éléments qui sont dans les deux ensembles, nous pouvons le faire en soustrayant les éléments qui sont uniquement dans A du nombre total d'éléments dans A, puis en rajoutant les éléments qui sont uniquement dans B.

Plus formellement, soit A et B deux ensembles, et soit |A| être le nombre d'éléments dans A. Ensuite, le principe d'inclusion-exclusion stipule que :

|A ∪ B| = |UNE| + |B| - |A ∩ B|

où |A ∪ B| est le nombre d'éléments dans l'union de A et B, et |A ∩ B| est le nombre d'éléments qui se trouvent à la fois dans A et B.

L'idée derrière cette formule est que nous pouvons calculer la taille de l'union de deux ensembles en comptant d'abord le nombre d'éléments dans chaque ensemble séparément, puis en soustrayant les éléments qui ne sont que dans l'un des ensembles (c'est-à-dire les éléments de l'intersection). Cela nous donne le nombre total d'éléments dans l'union, qui est la somme du nombre d'éléments dans chaque ensemble moins le nombre d'éléments qui ne sont que dans l'un des ensembles.

Par exemple, disons que nous avons deux ensembles : A = {1, 2, 3} et B = {4, 5, 6}. Pour calculer la taille de leur union en utilisant le principe d'inclusion-exclusion, nous comptons d'abord le nombre d'éléments dans chaque ensemble séparément :

|A| = 3
|B| = 3

Ensuite, nous calculons le nombre d'éléments qui se trouvent dans les deux ensembles en comptant leur intersection :

|A ∩ B| = 2 (puisque 1 et 2 sont dans les deux ensembles)

Maintenant, nous pouvons utiliser le principe d'inclusion-exclusion pour calculer la taille de l'union :

|A ∪ B| = |UNE| + |B| - |A ∩ B|
= 3 + 3 - 2
= 6

Donc, la taille de l'union de A et B est 6.

Le principe d'inclusion-exclusion a de nombreuses applications en combinatoire, comme compter le nombre de permutations, de combinaisons et de solutions aux équations. C'est un outil puissant pour résoudre des problèmes de comptage et peut être utilisé pour simplifier des calculs complexes.