Αρχή συμπερίληψης-αποκλεισμού στη συνδυαστική: Υπολογισμός μεγέθους συνόλου με ευκολία
Η αρχή συμπερίληψης-αποκλεισμού είναι μια τεχνική που χρησιμοποιείται στη συνδυαστική για τον υπολογισμό του μεγέθους ενός συνόλου διασπώντας το σε μικρότερα υποσύνολα και μετρώντας την τομή τους. Βασίζεται στην ιδέα ότι αν έχουμε δύο σύνολα, το Α και το Β, και θέλουμε να μετρήσουμε τα στοιχεία που βρίσκονται και στα δύο σύνολα, μπορούμε να το κάνουμε αφαιρώντας τα στοιχεία που βρίσκονται μόνο στο Α από τον συνολικό αριθμό των στοιχείων στο A, και μετά προσθέτοντας πίσω τα στοιχεία που βρίσκονται μόνο στο B.
Πιο τυπικά, έστω A και B δύο σύνολα, και έστω |A| είναι ο αριθμός των στοιχείων στο Α. Τότε, η αρχή συμπερίληψης-αποκλεισμού δηλώνει ότι:
|A ∪ B| = |Α| + |B| - |A ∩ B|
όπου |A ∪ B| είναι ο αριθμός των στοιχείων στην ένωση των A και B, και |A ∩ B| είναι ο αριθμός των στοιχείων που βρίσκονται τόσο στο A όσο και στο B.
Η ιδέα πίσω από αυτόν τον τύπο είναι ότι μπορούμε να υπολογίσουμε το μέγεθος της ένωσης δύο συνόλων μετρώντας πρώτα τον αριθμό των στοιχείων σε κάθε σύνολο ξεχωριστά και μετά αφαιρώντας τα στοιχεία που βρίσκονται μόνο σε ένα από τα σύνολα (δηλαδή, τα στοιχεία στην τομή). Αυτό μας δίνει τον συνολικό αριθμό στοιχείων στην ένωση, που είναι το άθροισμα του αριθμού των στοιχείων σε κάθε σύνολο μείον τον αριθμό των στοιχείων που βρίσκονται μόνο σε ένα από τα σύνολα.
Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο σύνολα: A = {1, 2, 3} και B = {4, 5, 6}. Για να υπολογίσουμε το μέγεθος της ένωσής τους χρησιμοποιώντας την αρχή συμπερίληψης-αποκλεισμού, μετράμε πρώτα τον αριθμό των στοιχείων σε κάθε σύνολο ξεχωριστά:
|A| = 3
|B| = 3
Στη συνέχεια, υπολογίζουμε τον αριθμό των στοιχείων που βρίσκονται και στα δύο σύνολα μετρώντας την τομή τους:
|A ∩ B| = 2 (αφού το 1 και το 2 είναι και στα δύο σύνολα)
Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την αρχή συμπερίληψης-αποκλεισμού για να υπολογίσουμε το μέγεθος της ένωσης:
|A ∪ B| = |Α| + |B| - |A ∩ B|
= 3 + 3 - 2
= 6
Έτσι, το μέγεθος της ένωσης του A και του B είναι 6.
Η αρχή συμπερίληψης-αποκλεισμού έχει πολλές εφαρμογές στη συνδυαστική, όπως η μέτρηση του αριθμού μεταθέσεων, συνδυασμών και λύσεων στις εξισώσεις. Είναι ένα ισχυρό εργαλείο για την επίλυση προβλημάτων μέτρησης και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απλοποίηση πολύπλοκων υπολογισμών.
Μου αρέσει
Δεν μου αρέσει
Αναφορά σφάλματος περιεχομένου
Κοινή
