組み合わせ論における包含-排他原理: 集合サイズを簡単に計算する
包含排他原理は、組み合わせ論で使用される手法で、セットをより小さなサブセットに分割し、その交差部分を数えることによってセットのサイズを計算します。これは、A と B という 2 つのセットがあり、両方のセットに含まれる要素を数えたい場合、A にのみ含まれる要素を A と B の要素の合計数から減算することで数えられるという考えに基づいています。 A を作成し、B のみにある要素を追加し直します。
より正式には、A と B を 2 つのセットとし、|A| とします。 A の要素の数になります。すると、包含排他原理により次のようになります。
|A ∪ B| = |A| |B| - |A ∩ B|
ここで、|A ∪ B|は A と B の和集合の要素の数で、 |A ∩ B| です。は、A と B の両方に含まれる要素の数です。この式の背後にある考え方は、最初に各セットの要素の数を個別に数えてから、その要素の数を差し引くことで、2 つのセットの和集合のサイズを計算できるということです。セットの 1 つにのみ存在します (つまり、交差内の要素)。これにより、和集合内の要素の総数が得られます。これは、各セット内の要素数の合計から、セットの 1 つにのみ存在する要素の数を引いたものです。たとえば、2 つのセットがあるとします。 A = {1, 2, 3} および B = {4, 5, 6}。包含排他原理を使用して結合のサイズを計算するには、まず各セット内の要素の数を個別に数えます。 = 3
|B| = 3
次に、交差を数えることによって両方のセットに含まれる要素の数を計算します:
|A ∩ B| = 2 (1 と 2 が両方のセットに含まれるため)
これで、包含-排他原理を使用して和集合のサイズを計算できます:
|A ∪ B| = |A| |B| - |A ∩ B|
= 3 + 3 - 2
= 6
したがって、A と B の和集合のサイズは 6 です。
包含排他原理は、順列、組み合わせ、解の数を数えるなど、組み合わせ論で多くの用途があります。方程式に。これは計数の問題を解決するための強力なツールであり、複雑な計算を簡素化するために使用できます。
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