Разбиране на двустранността в алгебричната геометрия и комутативната алгебра

В математиката, особено в контекста на алгебричната геометрия и комутативната алгебра, двукратността се отнася до специфичен тип сингулярност, която може да възникне в точка от многообразие.

Казва се, че точка $P$ на многообразие $X$ има двойност, ако има съществуват два различни клона на многообразието, минаващи през $P$, така че всеки клон има допирателна права в $P$, която не се съдържа в другия клон. С други думи, допирателното пространство при $P$ се разлага на две не-ривиални подпространства, по едно свързано с всеки клон.

Биплицитността е по-силно условие от сингулярността, тъй като предполага, че разнообразието има нетривиално допирателно пространство в точката, и че сингулярността не е просто обикновена инфлексна точка или върхова точка. Двукратността също е необходимо условие за съществуването на определени типове сингулярности, като например нодални сингулярности.

В контекста на алгебричните криви, двукратността може да се използва за изследване на геометрията и топологията на кривата близо до особена точка. Например, ако една крива има биточка, тогава тя трябва да има поне една инфлексна точка наблизо, а допирателната в биточката трябва да е хоризонтална.

Като цяло бипличността е важна концепция в алгебричната геометрия и комутативната алгебра и има приложения в различни области на математиката и физиката, като изучаване на алгебрични повърхности, геометрия на модулни пространства и изучаване на квантови теории на полето.