बीजगणितीय ज्यामिति और क्रमविनिमेय बीजगणित में द्विपक्षीयता को समझना

गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति और क्रमविनिमेय बीजगणित के संदर्भ में, द्विगुणता एक विशिष्ट प्रकार की विलक्षणता को संदर्भित करती है जो विविधता के एक बिंदु पर हो सकती है। विविधता $X$ पर एक बिंदु $P$ को द्विगुणता कहा जाता है यदि वहां $P$ से गुजरने वाली किस्म की दो अलग-अलग शाखाएँ मौजूद हैं, जैसे कि प्रत्येक शाखा में $P$ पर एक स्पर्श रेखा होती है जो दूसरी शाखा में समाहित नहीं होती है। दूसरे शब्दों में, $P$ पर स्पर्शरेखा स्थान दो गैर-तुच्छ उप-स्थानों में विघटित हो जाता है, प्रत्येक शाखा से जुड़ा एक।

द्विभाषिता विलक्षणता की तुलना में एक मजबूत स्थिति है, क्योंकि इसका तात्पर्य है कि विविधता में बिंदु पर एक गैर-तुच्छ स्पर्शरेखा स्थान है, और यह कि विलक्षणता केवल विभक्ति या चरम बिंदु का एक साधारण बिंदु नहीं है। कुछ प्रकार की विलक्षणताओं, जैसे कि नोडल विलक्षणताओं, के अस्तित्व के लिए बाइप्लिसिटी भी एक आवश्यक शर्त है। बीजगणितीय वक्रों के संदर्भ में, बाइप्लिसिटी का उपयोग एकवचन बिंदु के पास वक्र की ज्यामिति और टोपोलॉजी का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी वक्र में द्विबिंदु है, तो उसके पास कम से कम एक विभक्ति बिंदु होना चाहिए, और द्विबिंदु पर स्पर्शरेखा रेखा क्षैतिज होनी चाहिए। गणित और भौतिकी के विभिन्न क्षेत्रों में, जैसे बीजगणितीय सतहों का अध्ययन, मॉड्यूलि रिक्त स्थान की ज्यामिति, और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों का अध्ययन।