Forstå biplisitet i algebraisk geometri og kommutativ algebra

I matematikk, spesielt i sammenheng med algebraisk geometri og kommutativ algebra, refererer biplisitet til en spesifikk type singularitet som kan forekomme ved et punkt i en variasjon.

Et punkt $P$ på en variasjon $X$ sies å ha biplisitet hvis det finnes eksisterer to distinkte grener av sorten som går gjennom $P$, slik at hver gren har en tangentlinje ved $P$ som ikke finnes i den andre grenen. Med andre ord, tangensrommet ved $P$ dekomponeres i to ikke-rivielle underrom, ett assosiert med hver gren.

Biplisitet er en sterkere betingelse enn singularitet, da det inneb
rer at variasjonen har et ikke-trivielt tangentrom ved punktet, og at singulariteten ikke bare er et enkelt bøyningspunkt eller en spiss. Biplisitet er også en nødvendig betingelse for eksistensen av visse typer singulariteter, for eksempel nodale singulariteter.

I sammenheng med algebraiske kurver kan biplisitet brukes til å studere geometrien og topologien til kurven n
r et singularpunkt. For eksempel, hvis en kurve har et bipunkt, må den ha minst ett bøyningspunkt i n
rheten, og tangentlinjen ved bipunktet må v
re horisontal.

Totalt sett er biplisitet et viktig begrep i algebraisk geometri og kommutativ algebra, og det har applikasjoner innen ulike områder av matematikk og fysikk, som studiet av algebraiske overflater, geometrien til modulrom og studiet av kvantefeltteorier.