A biplicitás megértése az algebrai geometriában és a kommutatív algebrában

A matematikában, különösen az algebrai geometria és a kommutatív algebra kontextusában, a biplicitás egy adott típusú szingularitásra utal, amely egy variáció egy pontjában fordulhat elő.

A $X$ variáns $P$ pontjáról azt mondják, hogy biplicitása van, ha van létezik a fajta két különálló ága, amelyek áthaladnak a $P$-on, úgy, hogy mindegyik ágnak van egy érintővonala a $P$-nál, amely nem szerepel a másik ágban. Más szóval, a $P$-nál lévő érintőtér két nem riviális altérre bomlik, mindegyik ághoz egy-egy társítva. A biplicitás erősebb feltétel, mint a szingularitás, mivel azt jelenti, hogy a változatnak van egy nem triviális érintőtere a ponton, és hogy a szingularitás nem csupán egy egyszerű inflexiós pont vagy csúcspont. A biplicitás bizonyos típusú szingularitások, például csomóponti szingularitások létezésének is szükséges feltétele.

Algebrai görbék kontextusában a biplicitás felhasználható a szinguláris pont közelében lévő görbe geometriájának és topológiájának tanulmányozására. Például, ha egy görbének van egy bipontja, akkor legalább egy inflexiós pontnak kell lennie a közelben, és a kétpontban lévő érintővonalnak vízszintesnek kell lennie.

Összességében a biplicitás fontos fogalom az algebrai geometriában és a kommutatív algebrában, és vannak alkalmazásai a matematika és a fizika különböző területein, mint például az algebrai felületek tanulmányozása, a modulusterek geometriája és a kvantumtérelméletek tanulmányozása.