Biplicityn ymmärtäminen algebrallisessa geometriassa ja kommutatiivisessa algebrassa

Matematiikassa, erityisesti algebrallisen geometrian ja kommutatiivisen algebran kontekstissa, kaksinkertaisuus viittaa tietyntyyppiseen singulaarisuuteen, joka voi esiintyä vaihtelun pisteessä.

Varimentin $X$ pisteellä $P$ sanotaan olevan bipliciteetti, jos se on olemassa. on olemassa kaksi erillistä lajikkeen haaraa, jotka kulkevat $P$:n kautta siten, että kummallakin haaralla on tangenttiviiva kohdassa $P$, joka ei sisälly toiseen haaraan. Toisin sanoen tangenttiavaruus kohdassa $P$ hajoaa kahdeksi ei-riviaaliksi aliavaruudeksi, joista yksi liittyy kuhunkin haaraan.

Biplicity on vahvempi ehto kuin singulaarisuus, koska se tarkoittaa, että lajikkeella on ei-triviaali tangenttiavaruus kohdassa, ja että singulaarisuus ei ole vain yksinkertainen käännekohta tai kärki. Biplicity on myös välttämätön edellytys tietyntyyppisten singulaariteettien, kuten solmukohtaisten singulaariteettien, olemassaololle.

Algebrallisten käyrien yhteydessä bipliciteettiä voidaan käyttää käyrän geometrian ja topologian tutkimiseen lähellä singulaaripistettä. Esimerkiksi, jos käyrällä on kaksipiste, sen lähellä on oltava vähintään yksi taivutuspiste ja kaksipisteen tangenttiviivan on oltava vaakasuora.

Kaiken kaikkiaan bipliciteetti on tärkeä käsite algebrallisessa geometriassa ja kommutatiivisessa algebrassa, ja sillä on sovelluksia. matematiikan ja fysiikan eri aloilla, kuten algebrallisten pintojen, moduuliavaruuksien geometrian ja kvanttikenttäteorioiden tutkimisessa.