Comprendre la biplicité en géométrie algébrique et en algèbre commutative

En mathématiques, en particulier dans le contexte de la géométrie algébrique et de l'algèbre commutative, la biplicité fait référence à un type spécifique de singularité qui peut se produire en un point d'une variété.

Un point $P$ sur une variété $X$ est dit avoir une biplicité s'il y a il existe deux branches distinctes de la variété passant par $P$, telles que chaque branche ait une tangente en $P$ qui n'est pas contenue dans l'autre branche. En d'autres termes, l'espace tangent en $P$ se décompose en deux sous-espaces non rivaux, un associé à chaque branche.

La biplicité est une condition plus forte que la singularité, car elle implique que la variété a un espace tangent non trivial au point, et que la singularité n’est pas qu’un simple point d’inflexion ou une cuspide. La biplicité est également une condition nécessaire à l'existence de certains types de singularités, comme les singularités nodales.

Dans le contexte des courbes algébriques, la biplicité peut être utilisée pour étudier la géométrie et la topologie de la courbe à proximité d'un point singulier. Par exemple, si une courbe a un bipoint, alors elle doit avoir au moins un point d'inflexion à proximité et la ligne tangente au bipoint doit être horizontale.

Dans l'ensemble, la biplicité est un concept important en géométrie algébrique et en algèbre commutative, et elle a des applications. dans divers domaines des mathématiques et de la physique, tels que l'étude des surfaces algébriques, la géométrie des espaces de modules et l'étude des théories quantiques des champs.