Biplizität in der algebraischen Geometrie und der kommutativen Algebra verstehen

In der Mathematik, insbesondere im Kontext der algebraischen Geometrie und der kommutativen Algebra, bezieht sich Biplizität auf eine bestimmte Art von Singularität, die an einem Punkt einer Varietät auftreten kann.

Ein Punkt $P$ auf einer Varietät $X$ soll biplizität haben, wenn er vorhanden ist Es gibt zwei unterschiedliche Zweige der Sorte, die durch $P$ verlaufen, sodass jeder Zweig eine Tangente an $P$ hat, die nicht im anderen Zweig enthalten ist. Mit anderen Worten, der Tangentenraum bei $P$ zerfällt in zwei nicht-riviale Unterräume, von denen einer jedem Zweig zugeordnet ist.

Biplizität ist eine stärkere Bedingung als Singularität, da sie impliziert, dass die Varietät an dem Punkt einen nicht-trivialen Tangentenraum hat. und dass die Singularität nicht nur ein einfacher Wendepunkt oder ein Höhepunkt ist. Biplizität ist auch eine notwendige Bedingung für die Existenz bestimmter Arten von Singularitäten, wie z. B. Knotensingularitäten.

Im Zusammenhang mit algebraischen Kurven kann Biplizität verwendet werden, um die Geometrie und Topologie der Kurve in der Nähe eines singulären Punktes zu untersuchen. Wenn eine Kurve beispielsweise einen Bipunkt hat, muss sie mindestens einen Wendepunkt in der Nähe haben und die Tangente am Bipunkt muss horizontal sein.

Insgesamt ist die Biplizität ein wichtiges Konzept in der algebraischen Geometrie und der kommutativen Algebra, und es gibt Anwendungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik, wie dem Studium algebraischer Flächen, der Geometrie von Modulräumen und dem Studium von Quantenfeldtheorien.