Förstå biplicity i algebraisk geometri och kommutativ algebra

Inom matematiken, särskilt i samband med algebraisk geometri och kommutativ algebra, hänvisar biplicity till en specifik typ av singularitet som kan förekomma vid en punkt av en varietet.

En punkt $P$ på en varietet $X$ sägs ha biplicity om det finns finns två distinkta grenar av sorten som går genom $P$, så att varje gren har en tangentlinje vid $P$ som inte finns i den andra grenen. Med andra ord, tangentrymden vid $P$ sönderfaller i två icke-riviala delrum, ett associerat med varje gren.

Biplicitet är ett starkare villkor än singularitet, eftersom det antyder att varieteten har ett icke-trivialt tangentutrymme vid punkten, och att singulariteten inte bara är en enkel böjningspunkt eller en spets. Biplicity är också en nödvändig förutsättning för existensen av vissa typer av singulariteter, såsom nodalsingulariteter.

I samband med algebraiska kurvor kan biplicity användas för att studera kurvans geometri och topologi nära en singular punkt. Om en kurva till exempel har en bipunkt måste den ha minst en böjningspunkt i närheten, och tangentlinjen vid bipunkten måste vara horisontell.

Sammantaget är biplicity ett viktigt begrepp inom algebraisk geometri och kommutativ algebra, och det har tillämpningar inom olika områden av matematik och fysik, såsom studiet av algebraiska ytor, geometrin av modulrum och studiet av kvantfältteorier.