การทำความเข้าใจสมการเส้นทาง: คู่มือการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่สอง

Routh เป็นคำที่ใช้ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เพื่ออธิบายสมการเชิงอนุพันธ์ประเภทใดประเภทหนึ่งโดยเฉพาะ ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ วิลเลียม เราธ์ ซึ่งเป็นคนแรกที่แนะนำแนวคิดนี้ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 สมการเราต์คือสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองที่มีรูปแบบ:

y'' + p(t)y' + q(t) y = 0

โดยที่ y(t) คือฟังก์ชันที่ไม่รู้จัก และ p(t) และ q(t) คือฟังก์ชันของ t ที่ต่อเนื่องกันและต่อเนื่องเป็นชิ้น ๆ ตามลำดับ คำว่า "รูธ" หมายถึงข้อเท็จจริงที่ว่าสมการนั้นมีโครงสร้างเฉพาะที่รูธระบุเป็นครั้งแรก คุณลักษณะที่สำคัญของสมการรูธคือสามารถเขียนได้ในรูปแบบ:

y'' + (p1(t)y ' + q1(t)y)^2 = 0

โดยที่ p1(t) และ q1(t) เป็นฟังก์ชันของ t ที่ต่อเนื่องกันและต่อเนื่องเป็นชิ้น ๆ ตามลำดับ โครงสร้างนี้ทำให้สามารถใช้เทคนิคบางอย่างในการแก้สมการได้ เช่น เกณฑ์เสถียรภาพของรูธ-เฮอร์วิทซ์ ซึ่งเป็นวิธีการหาความเสถียรของการแก้สมการ สมการของรูธมีการประยุกต์ในสาขาต่างๆ เช่น ฟิสิกส์ วิศวกรรมศาสตร์ และเศรษฐศาสตร์ มักใช้ในการสร้างแบบจำลองระบบที่แสดงพฤติกรรมการแกว่ง เช่น ระบบเครื่องกล วงจรไฟฟ้า และระบบเศรษฐกิจ