राउथ समीकरणों को समझना: दूसरे क्रम के रैखिक विभेदक समीकरणों को हल करने के लिए एक गाइड
राउट एक शब्द है जिसका उपयोग गणित और भौतिकी में एक विशेष प्रकार के विभेदक समीकरण का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इसका नाम गणितज्ञ विलियम राउथ के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार 19वीं शताब्दी के अंत में इस अवधारणा को पेश किया था।
ए राउथ समीकरण फॉर्म का एक दूसरे क्रम का रैखिक अंतर समीकरण है:
y'' + p(t)y' + q(t) y = 0
जहां y(t) अज्ञात फ़ंक्शन है, और p(t) और q(t) t के फ़ंक्शन हैं जो क्रमशः निरंतर और टुकड़े-टुकड़े निरंतर हैं। शब्द "राउथ" इस तथ्य को संदर्भित करता है कि समीकरण में एक विशेष संरचना होती है जिसे सबसे पहले राउथ द्वारा पहचाना गया था। राउथ समीकरण की मुख्य विशेषता यह है कि इसे इस रूप में लिखा जा सकता है:
y'' + (p1(t)y ' + q1(t)y)^2 = 0
जहां p1(t) और q1(t) t के कार्य हैं जो क्रमशः निरंतर और टुकड़े-टुकड़े निरंतर हैं। यह संरचना समीकरण को हल करने के लिए कुछ तकनीकों के उपयोग की अनुमति देती है, जैसे राउथ-हर्विट्ज़ स्थिरता मानदंड, जो समीकरण के समाधान की स्थिरता निर्धारित करने की एक विधि है। राउथ समीकरणों में भौतिकी, इंजीनियरिंग सहित विभिन्न क्षेत्रों में अनुप्रयोग होते हैं , और अर्थशास्त्र। उनका उपयोग अक्सर उन प्रणालियों को मॉडल करने के लिए किया जाता है जो दोलनशील व्यवहार प्रदर्शित करते हैं, जैसे यांत्रिक प्रणाली, विद्युत सर्किट और आर्थिक प्रणाली।
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