Routhin yhtälöiden ymmärtäminen: opas toisen kertaluvun lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen

Routh on termi, jota käytetään matematiikassa ja fysiikassa kuvaamaan tietyntyyppistä differentiaaliyhtälöä. Se on nimetty matemaatikko William Routhin mukaan, joka esitteli käsitteen ensimmäisen kerran 1800-luvun lopulla.

A Routhin yhtälö on toisen asteen lineaarinen differentiaaliyhtälö muotoa:

y'' + p(t)y' + q(t) y = 0

missä y(t) on tuntematon funktio, ja p(t) ja q(t) ovat t:n funktioita, jotka ovat jatkuvia ja paloittain jatkuvia, vastaavasti. Termi "Routh" viittaa siihen, että yhtälöllä on tietty rakenne, jonka Routh tunnisti ensimmäisenä.

Routhin yhtälön keskeinen piirre on, että se voidaan kirjoittaa muodossa:

y'' + (p1(t)y ' + q1(t)y)^2 = 0

missä p1(t) ja q1(t) ovat t:n funktioita, jotka ovat jatkuvia ja paloittain jatkuvia, vastaavasti. Tämä rakenne mahdollistaa tiettyjen tekniikoiden käytön yhtälön ratkaisemiseksi, kuten Routh-Hurwitzin stabiilisuuskriteerin, joka on menetelmä yhtälön ratkaisujen stabiiliuden määrittämiseksi. Routh-yhtälöillä on sovelluksia useilla aloilla, mukaan lukien fysiikka, tekniikka ja taloustiede. Niitä käytetään usein mallintamaan järjestelmiä, jotka osoittavat värähtelevää käyttäytymistä, kuten mekaanisia järjestelmiä, sähköpiirejä ja taloudellisia järjestelmiä.