Comprendre les relations transitives en mathématiques

En mathématiques, une relation transitive est une relation binaire qui a la propriété que si a est lié à b et b est lié à c, alors a est également lié à c. En d'autres termes, si a est connecté à b via la relation, et b est connecté à c via la même relation, alors a est également connecté à c.

Par exemple, si nous définissons une relation « est plus grand que » sur un ensemble de personnes, et nous disons que la personne A est plus grande que la personne B et que la personne B est plus grande que la personne C, alors nous pouvons conclure que la personne A est également plus grande que la personne C. Ceci est un exemple de relation transitive.

Voici quelques autres exemples de relations transitives :

1. Égalité : Si a = b et b = c, alors a = c (c'est une propriété fondamentale de l'égalité).
2. Inférieur ou égal à : Si a ≤ b et b ≤ c, alors a ≤ c.
3. Supérieur ou égal à : Si a ≥ b et b ≥ c, alors a ≥ c.
4. Est un sous-ensemble de : Si A est un sous-ensemble de B et que B est un sous-ensemble de C, alors A est également un sous-ensemble de C.
5. Est un surensemble de : Si A est un surensemble de B et que B est un surensemble de C, alors A est également un surensemble de C.
6. Est égal à : Si A = B et B = C, alors A = C.

Notez que toutes les relations binaires ne sont pas transitives. Par exemple, la relation « est lié à » n'est pas nécessairement transitive, car il peut y avoir des cas où la personne A est liée à la personne B, mais la personne B n'est pas liée à la personne C.