Erzeugen von Mengen in der Gruppentheorie

In der Mathematik ist ein Erzeugersatz (oder Erzeugerfamilie) einer Gruppe eine Teilmenge der Gruppe, deren Elemente kombiniert werden können, um alle anderen Elemente der Gruppe zu erzeugen. Mit anderen Worten: Wenn wir ein beliebiges Element der Gruppe nehmen, können wir es als Produkt von Elementen der erzeugenden Menge schreiben.

Zum Beispiel ist die Menge {1, 2, 3} eine erzeugende Menge der Gruppe der zu addierenden ganzen Zahlen , weil wir jede ganze Zahl als Summe dieser Elemente schreiben können:

1 + 2 + 3 = 6
2 + 3 + 1 = 6
3 + 1 + 2 = 6

In diesem Fall besteht die Erzeugungsmenge aus drei Elementen, aber es sind noch viele andere möglich Stromerzeuger für die gleiche Gruppe. Zum Beispiel ist {2, 3, 4} auch eine erzeugende Menge der Gruppe der ganzen Zahlen unter Addition, weil wir jede ganze Zahl als Summe dieser Elemente schreiben können:

2 + 3 + 4 = 9
3 + 4 + 2 = 9
4 + 2 + 3 = 9

Im Allgemeinen muss ein Generatorsatz nicht aus allen Elementen der Gruppe bestehen, und es kann einfacher sein, mit einem kleineren Generatorsatz als mit der gesamten Gruppe zu arbeiten.

Der Begriff „Generatoren“ wird in der Mathematik nicht häufig verwendet , aber es scheint, dass Sie es verwenden, um auf die Elemente eines Stromaggregats zu verweisen. In diesem Fall wären die Erzeugenden die Elemente {1, 2, 3} oder {2, 3, 4}, je nachdem, welchen Generatorsatz wir verwenden möchten.