Δημιουργία συνόλων στη θεωρία ομάδων

Στα μαθηματικά, ένα σύνολο παραγωγής (ή οικογένεια παραγωγής) μιας ομάδας είναι ένα υποσύνολο της ομάδας, τα στοιχεία της οποίας μπορούν να συνδυαστούν για να παραχθούν όλα τα άλλα στοιχεία της ομάδας. Με άλλα λόγια, εάν πάρουμε οποιοδήποτε στοιχείο της ομάδας, μπορούμε να το γράψουμε ως γινόμενο στοιχείων του συνόλου παραγωγής.

Για παράδειγμα, το σύνολο {1, 2, 3} είναι ένα σύνολο παραγωγής της ομάδας ακεραίων αριθμών υπό πρόσθεση , γιατί μπορούμε να γράψουμε οποιονδήποτε ακέραιο ως άθροισμα αυτών των στοιχείων:

1 + 2 + 3 = 6
2 + 3 + 1 = 6
3 + 1 + 2 = 6

Σε αυτή την περίπτωση, το σύνολο παραγωγής αποτελείται από τρία στοιχεία, αλλά υπάρχουν πολλά άλλα πιθανά δημιουργία συνόλων για την ίδια ομάδα. Για παράδειγμα, το {2, 3, 4} είναι επίσης ένα σύνολο παραγωγής της ομάδας των ακεραίων αριθμών υπό πρόσθεση, επειδή μπορούμε να γράψουμε οποιονδήποτε ακέραιο ως άθροισμα αυτών των στοιχείων:

2 + 3 + 4 = 9
3 + 4 + 2 = 9
4 + 2 + 3 = 9

Γενικά, ένα σύνολο παραγωγής δεν χρειάζεται να αποτελείται από όλα τα στοιχεία της ομάδας και μπορεί να είναι ευκολότερο να εργαστεί κανείς με ένα μικρότερο σύνολο παραγωγής παρά με ολόκληρη την ομάδα.

Ο όρος "γενετριές" δεν χρησιμοποιείται συνήθως στα μαθηματικά , αλλά φαίνεται ότι το χρησιμοποιείτε για να αναφερθείτε στα στοιχεία ενός συνόλου παραγωγής. Σε αυτήν την περίπτωση, τα γενετικά στοιχεία θα είναι τα στοιχεία {1, 2, 3} ή {2, 3, 4}, ανάλογα με το σύνολο παραγωγής που θα επιλέξουμε να χρησιμοποιήσουμε.