Générer des ensembles en théorie des groupes

En mathématiques, un ensemble générateur (ou famille génératrice) d'un groupe est un sous-ensemble du groupe dont les éléments peuvent être combinés pour produire tous les autres éléments du groupe. En d'autres termes, si nous prenons n'importe quel élément du groupe, nous pouvons l'écrire comme un produit d'éléments du groupe électrogène.

Par exemple, l'ensemble {1, 2, 3} est un groupe générateur du groupe d'entiers sous addition , car on peut écrire n'importe quel entier comme une somme de ces éléments :

1 + 2 + 3 = 6
2 + 3 + 1 = 6
3 + 1 + 2 = 6

Dans ce cas, le groupe électrogène est constitué de trois éléments, mais il en existe bien d'autres possibles groupes électrogènes pour un même groupe. Par exemple, {2, 3, 4} est également un groupe générateur du groupe d'entiers sous addition, car nous pouvons écrire n'importe quel entier comme une somme de ces éléments :

2 + 3 + 4 = 9
3 + 4 + 2 = 9
4 + 2 + 3 = 9

En général, un groupe électrogène ne doit pas nécessairement être constitué de tous les éléments du groupe, et il peut être plus facile de travailler avec un groupe électrogène plus petit qu'avec l'ensemble du groupe.

Le terme « génératrices » n'est pas couramment utilisé en mathématiques , mais il semble que vous l'utilisiez pour désigner les éléments d'un groupe électrogène. Dans ce cas, les génératrices seraient les éléments {1, 2, 3} ou {2, 3, 4}, selon le groupe électrogène que l'on choisit d'utiliser.