群理論における集合の生成

数学では、群の生成集合 (または生成族) は、その要素を結合して群の他のすべての要素を生成できる群の部分集合です。言い換えれば、グループの任意の要素を取得した場合、それを生成セットの要素の積として書くことができます。たとえば、セット {1, 2, 3} は加算対象の整数グループの生成セットです。なぜなら、これらの要素の合計として任意の整数を書くことができるからです:

1 + 2 + 3 = 6
2 + 3 + 1 = 6
3 + 1 + 2 = 6

この場合、生成セットは 3 つの要素で構成されますが、他にも多くの要素が考えられます。同じグループのセットを生成します。たとえば、{2, 3, 4} は、加算対象の整数グループの生成セットでもあります。これは、次の要素の合計として任意の整数を記述することができるためです。

2 + 3 + 4 = 9
3 + 4 + 2 = 9
4 + 2 + 3 = 9一般に、生成セットはグループのすべての要素で構成されている必要はなく、グループ全体を扱うよりも小さい生成セットを使用する方が簡単な場合があります。「母集団」という用語は数学では一般的に使用されません。ですが、生成セットの要素を参照するために使用しているようです。この場合、母関数は、使用することを選択した生成セットに応じて、要素 {1, 2, 3} または {2, 3, 4} になります。